TEOREMA DE ROLLE, TEOREMA DEL VALOR MEDIO DE LAGRANGE y TEOREMA DEL VALOR MEDIO GENERALIZADO DE CAUCHY. Los 3 deben cumplir los siguientes requisitos:
f(x) debe ser continua y derivable en un intervalo (a, b) considerado.
TEOREMA DE ROLLE: Si f(x) es continua y derivable en (a, b) y se cumple que f(a) = f(b), entonces existe al menos un valor c, perteneciente al intervalo (a, b) donde se cumple que f'(c) = 0
Siempre se dice un valor c, pero puede haber más de un valor c, por eso se dice existe al menos 1 valor c. Fijaos en esta gráfica, tiene 3 valores dentro de (a, b) donde se cumple que f'(c)=0
Explicación gráfica de este teorema: podemos encontrar un punto del intervalo (a,b) donde la tangente a la curva sea paralela a la tangente a la recta que une los puntos (a, f(a)) y (b, f(b))
Pero puede haber más de un valor, como en la figura de la derecha:
fijaos que es un teorema que abarca al teorema de Rolle, ya que si f(b) = f(a), entonces su resta es cero, y por tanto f'(c) debe ser cero.
TEOREMA DE CAUCHY o del Valor Medio Generalizado: Si f(x) y g(x) son continuas y derivables en (a, b), entonces existe al menos un valor c, perteneciente al intervalo (a, b) donde se cumple que
Obviamente este teorema deja de cumplirse si los denominadores de ambos lados son cero.Este último teorema no viene en el libro, CUIDADO, hay que aprenderlo... Cómo obtenerlo, si aplicamos Teorema de Lagrange a dos funciones f(x) y g(x) en el mismo intervalo (a,b) y despejamos b - a en ambos casos e igualamos ambas expresiones obtenemos la expresión de este teorema.
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