UN VIDEO SOBRE EL VOLUMEN DE LAS PIRÁMIDES

Os dejo con estos videos sobre cálculo de volúmenes de cuerpos geométricos, tanto poliedros como cuerpos redondos. Son como lo he explicado en clase pero de una forma más tangible, llenando los cuerpos con arroz...

EL DESARROLLO EN EL PLANO DE LOS POLIEDROS

Todo poliedro se puede desarrollar en el plano, también aquellos cuerpos de revolución que tienen generatriz. Estos desarrollos no son únicos, admiten alternativas. Pero si quieres ver un desarrollo de cada cuerpo, y así construir tus propios poliedros, pincha en el siguiente enlace.   DESARROLLO DE POLIEDROS
o descargaros en pdf todos los poliedros de una, pincha aquí POLIEDROS PDF

Si queréis construiros un poliedro de cartón de embalaje sigue los siguientes pasos:

1. Dibuja sobre un cartón de embalaje el desarrollo de ese poliedro. Ayúdate de figuras de cartón duro para dibujarlos rápida y cómodamente.
2. Recorta con un cutter el contorno exterior
3. Haz un corte suave (sin llegar a traspasar el cartón) sobre cada línea marcada.
4. Dobla por las líneas marcadas para que tome su forma tridimensional.
5. Une con cinta de carrocero las aristas que quedan sueltas.
6. Pasa cinta de carrocero por todas las aristas para que queden suaves.
7. Opcionalmente, se pinta. Primero una capa de pintura blanca o de imprimación para que no se vean imperfecciones o la misma cinta de carrocero. Después pinta cada cara con los colores que más te gusten.
8. Opcionalmente, para que se noten las aristas, pasa cinta aislante negra por todas las aristas. 

Resultados como éstos que hice en una exposición en el instituto de Aguas Nuevas. Espero traer esta exposición a las aulas de Tarazona.

PRACTICANDO LAS ÁREAS DE FIGURAS

Antes de empezar el tema de poliedros hemos dado un repaso a las áreas de figuras planas: cuadrado, rectángulo, romboide, triángulo, rombo, trapecio, polígono regular y círculo.
Si quereis practicar el cálculo de áreas pinchad en el siguiente enlace

Áreas de figuras planas

EL VOLUMEN DE UNA PIRÁMIDE

Como hemos dicho en clase, el volumen de una pirámide es la tercera parte del volumen de un prisma con misma base y altura que la pirámide. Para demostrarlo a mis alumnos,...
a) cogemos un prisma y una pirámide con misma base y misma altura, y podemos ver que llenamos con agua 3 pirámides y completan el volumen del prisma. Siempre hay un pequeño error por la imprecisión de las construcciones geométricas y porque no enrasamos bien al llenar la pirámide o porque perdemos algo de líquido en los trasvases de agua. Pero aproximadamente coincide. Siempre hay más de un alumno que no termina de convencerse...
b) pinchad aquí y podreis ver cómo un cubo se puede partir en tres pirámides exactamente iguales con misma base y misma altura. Por tanto 3·Volumen pirámide = Volumen prisma
c) mirad este cubo,trazando sus cuatro diagonales en el espacio, se divide en 6 pirámides con misma base que el cubo y altura la mitad de la arista del cubo; podemos decir que el cubo es el volumen de 2 cajas o prismas cuadrados con misma base y altura la mitad de la arista del cubo, que es la altura de las pirámides. Por tanto, 6·Volumen pirámide = Volumen cubo = 2·Volumen caja o prisma. Es decir,

3·Volumen pirámide = Volumen prisma.

Por tanto, el volumen de la pirámide es la tercera parte del volumen de un prisma con las mismas dimensiones.

Haciendo una analogía o similitud entre prisma y cilindro,porque cilindro es el cuerpo de un prisma cuya base tiene muuuuuchos lados, infinitos, podemos ver que las fórmulas de un prisma se pueden aplicar a un cilindro. Basta con cambiar Sbase por pi·r^2 y altura la misma que la del prisma. Para el volumen de un cono haríamos la tercera parte del volumen de un cilindro.

En resumen:
Vprisma = Sbase · h
Vpirámide = Sbase·h /3
Vcilindro = pi· r^2 ·h
V cono = pi · r^2 · h /3

UNA VISITA AL MUSEO

Hola, ya sabemos que todos estamos muy liados y que no hay tiempo para visitas turísticas y mucho menos si sale la palabra MATEMÁTICAS a relucir, pero en el museo de la Cuchillería de Albacete, en la Plaza de la CAtedral hay una exposición llamada "IMAGINARY, una mirada matemática", del 12 de mayo de 2012 al 10 de junio de 2012.De martes a domingo por las mañanas y de martes a sábado por las tardes (17:30 - 20:00 h). Entre otras cosas veréis que muchas ecuaciones sencillas tienen unas gráficas sorprendentes.
Como muestra, un limón matemático es

Si alguien tiene más curiosidad y quiere saber más, visitad  www.rsme-imaginary.es  

1ºBHCS:SOLUCIONES EJERCICIOS PROBABILIDAD

Hola Bachilleratos, os pongo las soluciones de los ejercicios que han quedado sin resolver en clase. Pág. 285 libro.
Ejercicio 63 a) 1/7,  b) 3/35,  c) 19/70,  d) 1/2,    e) 1/2
Ejercicio 64 a) 1/12,   b) 41/120,  c) 13/20,   d) 4/15,  e) 11/48
Ejercicio 66  no hacerlo
Ejercicio 67,  a) 0'4   b) 0'14,   c) 0'725   d) 0'05   e) 0'36

Hasta la próxima entrada

REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES: PROTOCOLO

Para representar funciones de cualquier tipo, es conveniente seguir este protocolo:

1. Dominio: Excluir aquellos puntos que hagan cero el denominador. En esos valores posiblemente haya asíntotas verticales. Excluir puntos que hagan negativo el interior de una raíz de índice par.Excluir aquellos puntos que hagan negativo el interior de un logaritmo.
2. Corte con eje Y: hacemos f(x) = 0. Hallamos sus raíces.

Hacemos con esta información una tabla de las regiones de existencia, viendo qué signo toma la función entre cada dos puntos, de los hallados anteriormente.

Si f (x) < 0, la gráfica va por debajo del eje X, tachamos la zona del plano por encima del eje X.

Si f (x) > 0, la gráfica va por encima del eje X, tachamos la zona del plano por debajo del eje X.

Ejemplo:

 

Marcamos x = 1, x = -1, por hacer ceros en la función. Marcamos x = -3, x = 2 por hacer ceros en el denominador. Y probamos el signo de f(x) a la izq. de -3, (-3, -1), (-1, 1), (1, 2) y a la derecha de 2.

Fijaos cómo va la gráfica realmente.

Ahora hallamos sus asíntotas, si las tiene.

1. Asíntotas horizontales: Las asíntotas horizontales son rectas de ecuación: y = k.  En nuestro ejemplo, lim (+ o - ∞) = 1, por tanto Asíntota horizontal en y =1

 

1. Asíntotas verticales:Las asíntotas verticales son rectas de ecuación: x = k.  En nuestro ejemplo, hacemos límites a la izquierda y derecha de los puntos eliminados del dominio. Lim -3 (-) = +∞ . lim -3(+) = -∞, lím 2(-) = - ∞, lim 2(+) = +∞. Por tanto, asíntotas verticales en x= -3,  x= 2
   
2. Asíntotas oblícuas.Las asíntotas oblicuas son rectas de ecuación:
   
    

Ahora determinamos su crecimiento, decrecimiento. Hacemos f '(x) = 0. Miramos qué signo toma la derivada entre cada dos puntos de los hallados en este apartado. Hallamos máximos y mínimos y puntos de inflexión.

TEOREMAS RELACIONADOS CON LAS DERIVADAS

Tenemos 3 teoremas que pueden salir en la PAEG, relacionados con las derivadas.
TEOREMA DE ROLLE, TEOREMA DEL VALOR MEDIO DE LAGRANGE y TEOREMA DEL VALOR MEDIO GENERALIZADO DE CAUCHY. Los 3 deben cumplir los siguientes requisitos:
f(x) debe ser continua y derivable en un intervalo (a, b) considerado.

TEOREMA DE ROLLE:  Si f(x) es continua y derivable en (a, b) y se cumple que f(a) = f(b), entonces existe al menos un valor c, perteneciente al intervalo (a, b) donde se cumple que f'(c) = 0

Siempre se dice un valor c, pero puede haber más de un valor c, por eso se dice existe al menos 1 valor c. Fijaos en esta gráfica, tiene 3 valores dentro de (a, b) donde se cumple que f'(c)=0

TEOREMA DE LAGRANGE o del Valor Medio: Si f(x) es continua y derivable en (a, b) entonces existe al menos un valor c, perteneciente al intervalo (a, b) donde se cumple que

Explicación gráfica de este teorema: podemos encontrar un punto del intervalo (a,b) donde la tangente a la curva sea paralela a la tangente a la recta que une los puntos (a, f(a)) y (b, f(b))

Pero puede haber más de un valor, como en la figura de la derecha:

fijaos que es un teorema que abarca al teorema de Rolle, ya que si f(b) = f(a), entonces su resta es cero, y por tanto f'(c) debe ser cero.

TEOREMA DE CAUCHY o del Valor Medio Generalizado: Si f(x) y g(x) son continuas y derivables en (a, b), entonces existe al menos un valor c, perteneciente al intervalo (a, b) donde se cumple que 

Obviamente este teorema deja de cumplirse si los denominadores de ambos lados son cero.Este último teorema no viene en el libro, CUIDADO, hay que aprenderlo... Cómo obtenerlo, si aplicamos Teorema de Lagrange a dos funciones f(x) y g(x)  en el mismo intervalo (a,b) y despejamos b - a   en ambos casos e igualamos ambas expresiones obtenemos la expresión de este teorema.

OPTIMIZACIÓN DE FUNCIONES

Trata de encontrar los máximos y mínimos relativos de una función, procedimiento f’(x) =0. También pueden salir puntos de inflexión (hacen f’'(x)=0, pero no cambian el crecimiento o decrecimiento de la función, la  derivada a ambos lados del punto de inflexión mantiene su signo +,- 

Ejem:  f(x) = x⁶ – x⁵. Su derivada es 6x⁵ – 5x⁴.  Haciendo 6x⁵ – 5x⁴ = 0, obtenemos como valores posibles x=0,  x= 5/6.

Haciendo una valoración en las tres regiones determinadas por las soluciones anteriores, podemos ver qué representa cada punto.

X<0,  f’(-1) = -6 – 5 = -11, f(x) decrece a la izquierda de cero ↘

0<x< 5/6, f’(0’5) = -0’125, f(x) decrece en ese intervalo ↘ ;     en x = 0 hay un punto de inflexión

x> 5/6, f’(1) = 6 – 5 = +1, la función crece a la derecha de 5/6  ↗; en x=5/6 hay un mínimo.

PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN DE FUNCIONES. Se trata de resolver problemas donde hay una función objetivo, la función a optimizar, que depende de una o varias variables. Pasos:

1.       encontrar la función a optimizar

2.       encontrar la variable x con la que están relacionados todos los datos.

3.       Encontrar la relación entre datos, en geometría hay que recordar y aplicar propiedades o relaciones entre ángulos, distancias, superficies, volúmenes, etc…

4.       Definir la función a optimizar

5.       Derivar la función e igualar a cero.

6.       Si sale más de un valor, decidir cuál hace la función objetivo máxima o mínima.

Ejemplo: Se quiere vallar una parcela rectangular de 2500m², con la condición de que la longitud de valla empleada sea mínima. ¿Qué dimensiones tiene la parcela?

Función objetivo: perímetro mínimo.    Datos:  perímetro = 2x + 2y ,      área = x·y = 2500

Ponemos y en función de x en la función perímetro.  Y = 2500 / x

Perímetro =P(x) = 2x + 2· 2500/x = 2x + 5000/x = (2x² + 5000)/x

P’(x) =( 4x·x – 2x² – 5000)/x² = (2x² – 5000)/x² ;    P’(x) = 0, à 2x² – 5000 = 0 à x  = ±50

Desechamos la solución negativa porque no tiene sentido aquí una cantidad de valla negativa. No siempre podemos desechar soluciones. Comprobamos que x =50 es mínimo. 

P’(10) = -4800 /100 = -48, ↘

P’(100) = 15000 /10000 = + 1’5, ↗ . Luego, en x = 50 hay un perímetro mínimo.

Solución del problema:   x = 50 metros,  y= 2500/50 = 50 metros.

Resolver mismo problema pero suponiendo que uno de los lados de la valla, no necesita valla pues está rodeado por una pared.

Solución:  x = 35'35 metros,  y = 70'71 metros

EJERCICIOS:

1. Un alambre de 3 metros se corta en dos partes no iguales de forma que con el primer trozo se construye un cuadrado, y con el segundo trozo una circunferencia. Hallar la longitud de cada trozo para que LA SUMA DE LAS ÁREAS sea Máxima. Solución: x= 12/(pi +4) = 1'68,  y = 1'32 metros
2. De todos los conos de generatriz g= 2 metros, hallar las dimensiones del cono que haga un volumen máximo. Solución: h = 1,154 metros,  R = 1,633 metros
3. Un cilindro metálico cerrado por ambos lados tiene un volumen de 16·pi   m³. Hallar las dimensiones del cilindro de forma que la cantidad de chapa empleada en su construcción (superficie de chapa) sea mínima. Solución:  R = 2 metros, h = 4 metros.
4. Hallar la ecuación de una recta, que pasando por A(4, 5), determine con los semiejes positivos de x e y, un triángulo de superficie máxima. Solución :   y - 5 =  5/4· (x - 4)
5. Hallar un número real positivo de forma que la suma de ese número con su inverso sea mínimo.Solución: x = 1
6. De una lámina de cartón de 40 cm. de largo por 60 cm. de ancho se debe cortar de cada ángulo un cuadrado igual de modo que con el cartón resultante doblado convenientemente se pueda construir una caja  (sin tapa). Averiguar la longitud del lado del cuadrado para que la capacidad de la caja sea máxima. Solución: x = 7'84 cm
7. Determinar el radio y la altura de un cono inscrito en una esfera de 9 cm de radio, de forma que el volumen del cono sea máximo. Solución:  h = 12 cm,   R = 8'48 cm
8. En un campo se quiere limitar una parcela de 864 m² por una valla rectangular. Se quiere añadir otra valla paralela a uno de los lados de forma que divida al terreno en 2 partes iguales. ¿Qué dimensiones debe tener el campo rectangular para que la cantidad de valla empleada sea mínima? Solución: x = 24 metros,  y = 36 metros
9. Un automóvil ha de recorrer una distancia fija 800 km, a velocidad constante. El gasto de combustible por hora es el doble del cubo de su velocidad, además, existe un gasto adicional 2 €  por hora. Determinar la velocidad para que el gasto total sea mínimo. Solución : veloc. = 41,82 km/h
10. Hallar las dimensiones del rectángulo de perímetro 12 cm, que al girar alrededor de uno de sus lados, engendra un cilindro de volumen máximo. Solución: R = 4 cm,  h = 2 cm
11. Con un triángulo isósceles de perímetro 10 cm, hallar el cono de revolución de volumen máximo engendrado por el triángulo al girar alrededor de su altura. Soluc.:  R = 2 cm,  h = 2,23 cm
12. Un depósito cerrado con forma de ortoedro de base cuadrada, tiene una capacidad de 125 litros; calcular la longitud de sus aristas para que la superficie metálica empleada en su construcción sea mínima. Soluc: arista base = 5 dm,  altura = 5 cm
13. Una estatua de 4 m. se coloca sobre un pedestal de 10 m. Hallar a qué distancia de la base, se observará la estatua bajo un ángulo máximo. Nota: se debe recurrir a las tangentes. Si ángulo máximo, entonces tangente máxima. Soluc: x = 11,83 metros de la base
14. Hallar el radio y la altura del cilindro circular recto de volumen máximo que puede inscribirse en un cono de radio 4 m. y altura 9 m. Soluc.:  R = 8/3 metros,  altura = 6 metros