OPTIMIZACIÓN DE FUNCIONES

Trata de encontrar los máximos y mínimos relativos de una función, procedimiento f’(x) =0. También pueden salir puntos de inflexión (hacen f’'(x)=0, pero no cambian el crecimiento o decrecimiento de la función, la  derivada a ambos lados del punto de inflexión mantiene su signo +,- 

Ejem:  f(x) = x⁶ – x⁵. Su derivada es 6x⁵ – 5x⁴.  Haciendo 6x⁵ – 5x⁴ = 0, obtenemos como valores posibles x=0,  x= 5/6.

Haciendo una valoración en las tres regiones determinadas por las soluciones anteriores, podemos ver qué representa cada punto.

X<0,  f’(-1) = -6 – 5 = -11, f(x) decrece a la izquierda de cero ↘

0<x< 5/6, f’(0’5) = -0’125, f(x) decrece en ese intervalo ↘ ;     en x = 0 hay un punto de inflexión

x> 5/6, f’(1) = 6 – 5 = +1, la función crece a la derecha de 5/6  ↗; en x=5/6 hay un mínimo.

PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN DE FUNCIONES. Se trata de resolver problemas donde hay una función objetivo, la función a optimizar, que depende de una o varias variables. Pasos:

1.       encontrar la función a optimizar

2.       encontrar la variable x con la que están relacionados todos los datos.

3.       Encontrar la relación entre datos, en geometría hay que recordar y aplicar propiedades o relaciones entre ángulos, distancias, superficies, volúmenes, etc…

4.       Definir la función a optimizar

5.       Derivar la función e igualar a cero.

6.       Si sale más de un valor, decidir cuál hace la función objetivo máxima o mínima.

Ejemplo: Se quiere vallar una parcela rectangular de 2500m², con la condición de que la longitud de valla empleada sea mínima. ¿Qué dimensiones tiene la parcela?

Función objetivo: perímetro mínimo.    Datos:  perímetro = 2x + 2y ,      área = x·y = 2500

Ponemos y en función de x en la función perímetro.  Y = 2500 / x

Perímetro =P(x) = 2x + 2· 2500/x = 2x + 5000/x = (2x² + 5000)/x

P’(x) =( 4x·x – 2x² – 5000)/x² = (2x² – 5000)/x² ;    P’(x) = 0, à 2x² – 5000 = 0 à x  = ±50

Desechamos la solución negativa porque no tiene sentido aquí una cantidad de valla negativa. No siempre podemos desechar soluciones. Comprobamos que x =50 es mínimo. 

P’(10) = -4800 /100 = -48, ↘

P’(100) = 15000 /10000 = + 1’5, ↗ . Luego, en x = 50 hay un perímetro mínimo.

Solución del problema:   x = 50 metros,  y= 2500/50 = 50 metros.

Resolver mismo problema pero suponiendo que uno de los lados de la valla, no necesita valla pues está rodeado por una pared.

Solución:  x = 35'35 metros,  y = 70'71 metros

EJERCICIOS:

1. Un alambre de 3 metros se corta en dos partes no iguales de forma que con el primer trozo se construye un cuadrado, y con el segundo trozo una circunferencia. Hallar la longitud de cada trozo para que LA SUMA DE LAS ÁREAS sea Máxima. Solución: x= 12/(pi +4) = 1'68,  y = 1'32 metros
2. De todos los conos de generatriz g= 2 metros, hallar las dimensiones del cono que haga un volumen máximo. Solución: h = 1,154 metros,  R = 1,633 metros
3. Un cilindro metálico cerrado por ambos lados tiene un volumen de 16·pi   m³. Hallar las dimensiones del cilindro de forma que la cantidad de chapa empleada en su construcción (superficie de chapa) sea mínima. Solución:  R = 2 metros, h = 4 metros.
4. Hallar la ecuación de una recta, que pasando por A(4, 5), determine con los semiejes positivos de x e y, un triángulo de superficie máxima. Solución :   y - 5 =  5/4· (x - 4)
5. Hallar un número real positivo de forma que la suma de ese número con su inverso sea mínimo.Solución: x = 1
6. De una lámina de cartón de 40 cm. de largo por 60 cm. de ancho se debe cortar de cada ángulo un cuadrado igual de modo que con el cartón resultante doblado convenientemente se pueda construir una caja  (sin tapa). Averiguar la longitud del lado del cuadrado para que la capacidad de la caja sea máxima. Solución: x = 7'84 cm
7. Determinar el radio y la altura de un cono inscrito en una esfera de 9 cm de radio, de forma que el volumen del cono sea máximo. Solución:  h = 12 cm,   R = 8'48 cm
8. En un campo se quiere limitar una parcela de 864 m² por una valla rectangular. Se quiere añadir otra valla paralela a uno de los lados de forma que divida al terreno en 2 partes iguales. ¿Qué dimensiones debe tener el campo rectangular para que la cantidad de valla empleada sea mínima? Solución: x = 24 metros,  y = 36 metros
9. Un automóvil ha de recorrer una distancia fija 800 km, a velocidad constante. El gasto de combustible por hora es el doble del cubo de su velocidad, además, existe un gasto adicional 2 €  por hora. Determinar la velocidad para que el gasto total sea mínimo. Solución : veloc. = 41,82 km/h
10. Hallar las dimensiones del rectángulo de perímetro 12 cm, que al girar alrededor de uno de sus lados, engendra un cilindro de volumen máximo. Solución: R = 4 cm,  h = 2 cm
11. Con un triángulo isósceles de perímetro 10 cm, hallar el cono de revolución de volumen máximo engendrado por el triángulo al girar alrededor de su altura. Soluc.:  R = 2 cm,  h = 2,23 cm
12. Un depósito cerrado con forma de ortoedro de base cuadrada, tiene una capacidad de 125 litros; calcular la longitud de sus aristas para que la superficie metálica empleada en su construcción sea mínima. Soluc: arista base = 5 dm,  altura = 5 cm
13. Una estatua de 4 m. se coloca sobre un pedestal de 10 m. Hallar a qué distancia de la base, se observará la estatua bajo un ángulo máximo. Nota: se debe recurrir a las tangentes. Si ángulo máximo, entonces tangente máxima. Soluc: x = 11,83 metros de la base
14. Hallar el radio y la altura del cilindro circular recto de volumen máximo que puede inscribirse en un cono de radio 4 m. y altura 9 m. Soluc.:  R = 8/3 metros,  altura = 6 metros