2ºBCH : EXÁMENES PAEG (ENLACE A LA PÁGINA DE LA UCLM)

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2º BCH: VIDEO SOBRE DERIVADAS

HOLA GUAP@S, SI TENEIS CURIOSIDAD PODEIS VER ESTE VÍDEO SOBRE LAS REGLAS DE DERIVACIÓN

2ºbct: Soluciones a la PAEG de junio de 2012

Queridos alumnos de 2ºBCT: el examen de PAEG de este año ya lo he resuelto. Deciros que la opción B era más asequible para vosotros que la opción A, aunque habéis hecho ejercicios parecidos o relacionados. Estoy mirando si hay alguna pega o reclamación con respecto a las indicaciones dadas en la reunión pero no encuentro ninguna. Se ciñen a lo programado pero han puesto un nivel más difícil que otros años. La única salvedad es en optimizar el volumen del tetraedro, que sería una mezcla de geometría analítica con aplicaciones derivadas, pero cuya función era fácil de derivar. Lo siento. Ahora os pongo las soluciones aunque ya no tiene arreglo. Pero repito, habéis hecho o hemos hecho ejercicios más difíciles.
OPCIÓN A:
1A:  a=-3, b=-12, c=16
2Aa: era representar una parábola y una recta. Los puntos de corte están en x=2, x=-3, que serán los límites de integración de g(x)-f(x) = -x^2 -x +6
2Ab: área entre las curvas = 125 / 6
3Aa: Discusión   * si m=2, entonces Rg A = 3, Rg A* = 3 pero es un sistema homogéneo, que es un Sistema Compatible Indeterminado salvo la solución trivial x=y=z=0, que es la solución del apartado B
* si m distinto de 2, entonces RgA = 3,  RgA* = 4, entonces Sistema Incompatible.
4Aa: se trata de hallar los puntos de corte con los ejes  (0, 0, -1), (0,3,0), (-3,0,0) y aplicar la fórmula del producto vectorial, hallar su módulo y dividir por 2. Área triángulo = raíz 99 / 2 = 4'97...
4Ab: Hallar los vectores AB (0,3,1),  AC(-3, 0, 1) y AD (-a^2, 2+a, -2). Hallar su producto mixto con el determinante de  los tres vectores y derivar e igualar a cero. La expresión a derivar era f(a)= 3a^2+3a+24. a es la variable lambda porque el blog no la inserta. La solución era  a = -1/2

OPCIÓN B:

1Ba: era comprobar que N'(t) > 0 para todo t perteneciente al intervalo. Por tanto el mínimo está en N(0) = 20%
1Bb: N(infinito) = 60 %
2Ba: era una integral relacionada con la arcotangente.  Solución:  1/6· arctan (3x/2). De éstas hicimos pocas y no os gustaron mucho.
2Bb: o bien hacíamos cada integral por separado y las transformábamos en senos y cosenos. Salían -ln(cosx)  y  + ln(senx). O bien juntábamos todos los términos y haciendo tan x = t, salía inmediata  ln(tanx)

3Ba: era la última propiedad de los determinantes la que había que aplicar. Podríais intuirlo dada su poca puntuación. |B| = 1/3 y el rango de B = rango de A, para que se puedan multiplicar.
3Bb: se podría hallar con algo de tiempo la matriz inversa de A, y tras multiplicar por B salía la matriz X, cuyo determinante da un valor de -21^2 = -441

4Ba: se trataba de hallar el producto escalar entre el vector normal del plano y el vector director de la recta y entonces el valor de a = -3/2
4Bb: se trataba de hallar un punto de la recta dando ceros a todas las variables menos una. Ejemplo P(4,0,0). Hallar el vector normal del nuevo plano que contiene a la recta mediante el producto vectorial del vector normal y el vector director y luego valorar la ecuación en x=4, y=0, z=0 para hallar d. En resumen el plano que lo satisface es x + 5/2 y + 2z - 4 =0, o bien  2x + 5y+4z -8 = 0


Espero que hayáis sacado nota suficiente en otras pruebas para compensar ésta. Si queréis nos vemos esta semana en el instituto y lo comentamos.

TEOREMAS RELACIONADOS CON LAS DERIVADAS

Tenemos 3 teoremas que pueden salir en la PAEG, relacionados con las derivadas.
TEOREMA DE ROLLE, TEOREMA DEL VALOR MEDIO DE LAGRANGE y TEOREMA DEL VALOR MEDIO GENERALIZADO DE CAUCHY. Los 3 deben cumplir los siguientes requisitos:
f(x) debe ser continua y derivable en un intervalo (a, b) considerado.

TEOREMA DE ROLLE:  Si f(x) es continua y derivable en (a, b) y se cumple que f(a) = f(b), entonces existe al menos un valor c, perteneciente al intervalo (a, b) donde se cumple que f'(c) = 0

Siempre se dice un valor c, pero puede haber más de un valor c, por eso se dice existe al menos 1 valor c. Fijaos en esta gráfica, tiene 3 valores dentro de (a, b) donde se cumple que f'(c)=0

TEOREMA DE LAGRANGE o del Valor Medio: Si f(x) es continua y derivable en (a, b) entonces existe al menos un valor c, perteneciente al intervalo (a, b) donde se cumple que

Explicación gráfica de este teorema: podemos encontrar un punto del intervalo (a,b) donde la tangente a la curva sea paralela a la tangente a la recta que une los puntos (a, f(a)) y (b, f(b))

Pero puede haber más de un valor, como en la figura de la derecha:

fijaos que es un teorema que abarca al teorema de Rolle, ya que si f(b) = f(a), entonces su resta es cero, y por tanto f'(c) debe ser cero.

TEOREMA DE CAUCHY o del Valor Medio Generalizado: Si f(x) y g(x) son continuas y derivables en (a, b), entonces existe al menos un valor c, perteneciente al intervalo (a, b) donde se cumple que 

Obviamente este teorema deja de cumplirse si los denominadores de ambos lados son cero.Este último teorema no viene en el libro, CUIDADO, hay que aprenderlo... Cómo obtenerlo, si aplicamos Teorema de Lagrange a dos funciones f(x) y g(x)  en el mismo intervalo (a,b) y despejamos b - a   en ambos casos e igualamos ambas expresiones obtenemos la expresión de este teorema.

OPTIMIZACIÓN DE FUNCIONES

Trata de encontrar los máximos y mínimos relativos de una función, procedimiento f’(x) =0. También pueden salir puntos de inflexión (hacen f’'(x)=0, pero no cambian el crecimiento o decrecimiento de la función, la  derivada a ambos lados del punto de inflexión mantiene su signo +,- 

Ejem:  f(x) = x⁶ – x⁵. Su derivada es 6x⁵ – 5x⁴.  Haciendo 6x⁵ – 5x⁴ = 0, obtenemos como valores posibles x=0,  x= 5/6.

Haciendo una valoración en las tres regiones determinadas por las soluciones anteriores, podemos ver qué representa cada punto.

X<0,  f’(-1) = -6 – 5 = -11, f(x) decrece a la izquierda de cero ↘

0<x< 5/6, f’(0’5) = -0’125, f(x) decrece en ese intervalo ↘ ;     en x = 0 hay un punto de inflexión

x> 5/6, f’(1) = 6 – 5 = +1, la función crece a la derecha de 5/6  ↗; en x=5/6 hay un mínimo.

PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN DE FUNCIONES. Se trata de resolver problemas donde hay una función objetivo, la función a optimizar, que depende de una o varias variables. Pasos:

1.       encontrar la función a optimizar

2.       encontrar la variable x con la que están relacionados todos los datos.

3.       Encontrar la relación entre datos, en geometría hay que recordar y aplicar propiedades o relaciones entre ángulos, distancias, superficies, volúmenes, etc…

4.       Definir la función a optimizar

5.       Derivar la función e igualar a cero.

6.       Si sale más de un valor, decidir cuál hace la función objetivo máxima o mínima.

Ejemplo: Se quiere vallar una parcela rectangular de 2500m², con la condición de que la longitud de valla empleada sea mínima. ¿Qué dimensiones tiene la parcela?

Función objetivo: perímetro mínimo.    Datos:  perímetro = 2x + 2y ,      área = x·y = 2500

Ponemos y en función de x en la función perímetro.  Y = 2500 / x

Perímetro =P(x) = 2x + 2· 2500/x = 2x + 5000/x = (2x² + 5000)/x

P’(x) =( 4x·x – 2x² – 5000)/x² = (2x² – 5000)/x² ;    P’(x) = 0, à 2x² – 5000 = 0 à x  = ±50

Desechamos la solución negativa porque no tiene sentido aquí una cantidad de valla negativa. No siempre podemos desechar soluciones. Comprobamos que x =50 es mínimo. 

P’(10) = -4800 /100 = -48, ↘

P’(100) = 15000 /10000 = + 1’5, ↗ . Luego, en x = 50 hay un perímetro mínimo.

Solución del problema:   x = 50 metros,  y= 2500/50 = 50 metros.

Resolver mismo problema pero suponiendo que uno de los lados de la valla, no necesita valla pues está rodeado por una pared.

Solución:  x = 35'35 metros,  y = 70'71 metros

EJERCICIOS:

1. Un alambre de 3 metros se corta en dos partes no iguales de forma que con el primer trozo se construye un cuadrado, y con el segundo trozo una circunferencia. Hallar la longitud de cada trozo para que LA SUMA DE LAS ÁREAS sea Máxima. Solución: x= 12/(pi +4) = 1'68,  y = 1'32 metros
2. De todos los conos de generatriz g= 2 metros, hallar las dimensiones del cono que haga un volumen máximo. Solución: h = 1,154 metros,  R = 1,633 metros
3. Un cilindro metálico cerrado por ambos lados tiene un volumen de 16·pi   m³. Hallar las dimensiones del cilindro de forma que la cantidad de chapa empleada en su construcción (superficie de chapa) sea mínima. Solución:  R = 2 metros, h = 4 metros.
4. Hallar la ecuación de una recta, que pasando por A(4, 5), determine con los semiejes positivos de x e y, un triángulo de superficie máxima. Solución :   y - 5 =  5/4· (x - 4)
5. Hallar un número real positivo de forma que la suma de ese número con su inverso sea mínimo.Solución: x = 1
6. De una lámina de cartón de 40 cm. de largo por 60 cm. de ancho se debe cortar de cada ángulo un cuadrado igual de modo que con el cartón resultante doblado convenientemente se pueda construir una caja  (sin tapa). Averiguar la longitud del lado del cuadrado para que la capacidad de la caja sea máxima. Solución: x = 7'84 cm
7. Determinar el radio y la altura de un cono inscrito en una esfera de 9 cm de radio, de forma que el volumen del cono sea máximo. Solución:  h = 12 cm,   R = 8'48 cm
8. En un campo se quiere limitar una parcela de 864 m² por una valla rectangular. Se quiere añadir otra valla paralela a uno de los lados de forma que divida al terreno en 2 partes iguales. ¿Qué dimensiones debe tener el campo rectangular para que la cantidad de valla empleada sea mínima? Solución: x = 24 metros,  y = 36 metros
9. Un automóvil ha de recorrer una distancia fija 800 km, a velocidad constante. El gasto de combustible por hora es el doble del cubo de su velocidad, además, existe un gasto adicional 2 €  por hora. Determinar la velocidad para que el gasto total sea mínimo. Solución : veloc. = 41,82 km/h
10. Hallar las dimensiones del rectángulo de perímetro 12 cm, que al girar alrededor de uno de sus lados, engendra un cilindro de volumen máximo. Solución: R = 4 cm,  h = 2 cm
11. Con un triángulo isósceles de perímetro 10 cm, hallar el cono de revolución de volumen máximo engendrado por el triángulo al girar alrededor de su altura. Soluc.:  R = 2 cm,  h = 2,23 cm
12. Un depósito cerrado con forma de ortoedro de base cuadrada, tiene una capacidad de 125 litros; calcular la longitud de sus aristas para que la superficie metálica empleada en su construcción sea mínima. Soluc: arista base = 5 dm,  altura = 5 cm
13. Una estatua de 4 m. se coloca sobre un pedestal de 10 m. Hallar a qué distancia de la base, se observará la estatua bajo un ángulo máximo. Nota: se debe recurrir a las tangentes. Si ángulo máximo, entonces tangente máxima. Soluc: x = 11,83 metros de la base
14. Hallar el radio y la altura del cilindro circular recto de volumen máximo que puede inscribirse en un cono de radio 4 m. y altura 9 m. Soluc.:  R = 8/3 metros,  altura = 6 metros

LAS TANGENTES Y NORMALES A UNA CURVA

Hola Bachilleratos os pongo una muestra de problemas relativos a hallar las rectas tangentes y normales a una curva o función f(x) en un punto x=a
Proceso para la tangente:
1. Hallar el punto de tangencia de coordenadas (a, f(a))
2. Hallar el valor de la derivada de f(x) en x = a, o sea, f '(a), que es la pendiente m de la recta tangente y = mx + n
3. Sustituir x por a, y por f(a) y m por f '(a) y así hallar n.

Para la recta normal, se procede de forma similar pero ahora la pendiente es m' = -1 / f ' (a). Recordar que es el valor opuesto al valor inverso, o la inversa del opuesto.
Sustituimos x por a, y por f(a) y la pendiente m' en la ecuación de la recta.


También podemos hacerlo por la expresión de la recta dada en su forma punto-pendiente
y - f(a) = m (x -a)

EJERCICIOS Y SUS SOLUCIONES

1. Hallar la ecuación de la recta tangente a la parábola y = x2 − 4x + 3 en el punto x = 4.
Soluc: y = 4x  − 13

2. Hallar la normal a la función anterior en el mismo punto
Soluc: y = -1/4 · x + 4

3. Hallar la recta tangente y normal a la parábola y = x2 − 7x + 12 en x = 2.
Soluc:  y = -3x +8       y =1/3 ·x  + 4/3

4. ¿En qué punto la curva de ecuaciòn y = 3x2 - 5x + 1 tendrá una recta tangente paralela
a la recta de ecuación y = 7x − 3?.
Soluc:: (2, 3).

5. Hallar la recta normal a la curva anterior en x = 0
Soluc:  y = 1/5·x + 1

6. Hallar el valor de a para que la curva y = 2x3 − 3x2 + a     y la recta y = 12x − 1 sean
tangentes. ¿Cuál es el punto de tangencia?.
Solución: Dos soluciones: a = −8, P(−1,−13) ; a = 19, P(2, 23).

7. Hallar la ecuación de la recta normal a la hipérbola y = 1/ x en el punto (1, 1). Repetir para
el punto (−1,−1). Interpretar el resultado.
Solución: y = x, y = x. Es la misma recta.

8. Determinar la ecuación de la recta que pasa por el punto A(1, 2) y por el punto B(3, n),
siendo n el valor de la derivada de la función y = 3x2 − 6x − 1 en el punto de abscisa x = 1.
Solución: y =   - x + 3

9. Hallar la ecuaci´on de la tangente y de la normal a la curva y =1/6 ·x3 + 1/3· x + 1  en el punto
de abscisa x = 2.
Solución: 7x − 3y − 5 = 0, 3x + 7y − 27 = 0.

10. La recta de ecuación y = 6x + a es tangente a la curva y = (bx − 1)/ (bx + 1) en el punto x = 0.
Calcular a y b.
Solución: a = −1, b = 3.

11. Hallar el punto de la curva:   y = ln(1 + x2)  en el que la tangente es perpendicular a la tangente trazada por el punto x = 1.
Solución: (−1, ln 2).

12. Probar que la recta y = −x es tangente a la gráfica de la función:  f(x) = x3 − 6x2 + 8x
Hallar el punto de tangencia y estudiar si esta tangente corta a la gráfica en algún punto
distinto del punto de tangencia.
Soluc: (3,−3). Sí, en el punto (0, 0).


Esto es una muestra de ejercicios que os podrían salir en la paeg referentes a rectas tangentes y normales. Si alguno no os sale, los vemos en clase. Ciao.

UN PROGRAMA QUE TE REPRESENTA FUNCIONES, TE CALCULA LÍMITES, DERIVADAS, ETC... ON LINE

Hola Bachilleratos, os presentamos una página de internet, que escribiendo la expresión analítica de una función os sale la representación de su gráfica, sus límites en el infinito (asíntotas horizontales), su derivada, etc...   Se llama Wolframalpha. Pincha AQUÍ.

Tiene un problema, las instrucciones vienen en inglés, pero es muy intuitivo...

2ºBCT. EJERCICIOS SOBRE TEOREMA DE BOLZANO

Pinchad en el siguiente enlace para encontrar ejercicios de aplicación del teorema de Bolzano.

Ejercicios Tma. de Bolzano

2ºBCT. EJERCICIOS PARA CALCULAR LÍMITES USANDO LA REGLA DE L'HOPITAL

Estimados alumnos, os dejo este enlace con límites aplicando la Regla de L'Hopital, con sus soluciones. Está al final de la página, en el último apartado. Antes vienen los teoremas de Bolzano, Rolle y Cauchy, al que dedicaremos un tiempo más adelante.

CÁLCULO DE LÍMITES

2ºBCT. RESÚMENES DE LOS TRES ÚLTIMOS TEMAS

Mis queridos alumnos, esto se acaba, y para facilitaros la labor de estudiar os he hecho un resumen de los tres últimos temas, sobre funciones. Es la parte más sencilla, por tanto es la parte que primero deberíais hacer en los exámenes PAEG.
Empezaremos a verlos tras el examen del día 7 de marzo. Para descargarlos pincha AQUÍ.

2ºBCT:SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS

Hola, os pongo las soluciones que me pedisteis de integrales indefinidas para que comprobéis si los habéis hecho bien.

5a) 2/3·(raiz(e^x+1)- 2· raíz(e^x+1)

5b) 2/7· (1+x)^7/2  -4/5·(1+x)^5/2 + 2/3·(1+x)^3/2

6a)1/2· arcsen x + x/2· raíz(1-x^2)

6b) Se me ha olvidado hacerlo, mañana lo hago

7a) 2/3· x^3/2  - x - 4·ln (raiz x +1)

7b) ln( (raíz(x-1) +1) - ln ((raiz(x-1) -1))

8a) 3/10· (5x-2)^2/3

8b) 1/2· ln (e^2x +3)

9a) (x^2 -2x +3)·e^x

9b) (1-x)·senx + cos x

10a) 1/3· x·senx  + 1/9 · cos 3x

10b) (1/2· x^2 + x)· lnx - 1/4· x^2   - x

11a) (x+5)senx + cosx

11b) (1/3· x^3 + x^2)· lnx  - 1/9· x^3 - 1/2 · x^2

12a) (x^2 -x +2)· e^x

12b) 1/3· x^3· lnx - 1/9· x^3

13a) (3x-2)cosx + 3senx

13b) x^3 · arctan x - 1/2·x^2 + 1/2· ln (x^2 + 1)

14a) lnx - ln (x-1) - 1/(x-1)

el símbolo ^ significa obviamente "elevado a"

2ºBCT. VECTORES EN EL ESPACIO

Siempre que intentamos plasmar algo tridimensional en un plano como la pizarra o nuestro cuaderno nos cuesta hacerlo. Imaginad que dibujáis cajas trazando paralelas a los tres ejes cartesianos...

2ºBCT. EJERCICIOS PAEG 2011. MENOS GEOMETRÍA ANALÍTICA

como prometí os dejo ejercicios solucionados de la PAEG del año 2011. Incluidos los de reserva. Falta la prueba de junio 2011 que la resolveré otro día. Está a mi letra intentando cubrir los huecos vacíos. Si algún paso no entendéis me lo comentáis en clase. Faltan los ejercicios de Geometría porque son demasiado extensos...

PAEG 2011

2ºBCT. SOLUCIONES INTEGRALES INDEFINIDAS por partes

Hola, he descubierto que la integral que hemos dejado a medias es una integral impropia. Es decir, fuera de vuestro nivel. Por tanto, no intentéis la integral de senx·lnx porque no sale por ese método.

Por último, el ejercicio j) es un poco complicado si lo hacéis por partes. Es mejor emplear el siguiente truco

sen²x + cos²x = 1

 cos²x  -sen²x = cos 2x

Si restamos ambas igualdades obtenemos   2sen²x = 1 –cos 2x

Entonces sen²x = ½ (1-cos2x). Y la integral ahora se hace más fácil que por partes. Por lo demás he revisado el resto de integrales y son "asequibles". Lo siento por el error cometido.

2ºBCT: SOLUCIÓN DEL EJERCICIO 30, PAG. 121

La matriz A es inversible o regular si t es distinto de 2 y -6. Cuando t = 1, la matriz inversa es:

         11/7   -12/7   4/7
          4/7    -5/7     4/7
         -1/7    3/7    -1/7

La matriz B es regular si t es distinta de 1 y -1. Cuando t =2, la matriz inversa es:

-1/3    0   2/3
1/3     1   -2/3
2/3     0   -1/3

2ºBCT. PROBLEMAS DE SISTEMAS DE ECUACIONES DE 3 INCÓGNITAS

Hola bachilleres, os pongo un enlace a una página en pdf que tiene 38 problemas que se resuelven con sistemas de ecuaciones lineales. No he encontrado las soluciones pero ya sabéis que lo importante es el planteamiento y la resolución la podéis hacer de 3 maneras distintas. No os agobiéis, intentad hacer unos cuantos y resolvéis con la hoja de cálculo de una entrada anterior. No he visto ningún problema para descargarla desde mi ordenador. Os recuerdo, pincháis el enlace y arriba a la derecha le dais a descargar, y si os pregunta Abrir Guardar Cancelar le dais a Guardar y la abrís una vez descargada. Es una hoja de cálculo en versión antigua o sea que no da problemas con ordenadores antiguos o modernos. También os pongo una página con integrales por sustitución o cambio de variable, que ya están resueltos. Algunos después se tienen que resolver por racionales, pero coged aquellas integrales que tras el cambio de variable se integran inmediatamente.

PROBLEMAS DE SISTEMAS DE ECUACIONES

INTEGRALES POR CAMBIO DE VARIABLE

Venga, echad un vistazo que no cuesta nada, y practicáis... Nos vemos el jueves.

2ºBCT. EJERCICIOS SOBRE SISTEMAS EN FORMA MATRICIAL

Hoy hemos visto cómo calcular la matriz inversa y su utilidad para resolver sistemas en forma matricial. Si queréis podéis usar la hoja Excel para calcular la inversa, aunque Excel no usa fracciones sino decimales.

Os he hecho una hoja de cálculo preparada para realizar determinantes, matrices inversas y resolver sistemas compatibles determinados de 3 ecuaciones y 3 incógnitas. Ojo, es para comprobar resultados hechos a mano, no para venir a clase con las soluciones, porque se resuelven los problemas en la pizarra.
Pinchad en el siguiente enlace                                  EXCEL 2ºBCT

Haced los ejercicios de matriz inversa de orden 3 y 4 en la página 112, creo, no estoy seguro porque el libro me lo he dejado en el instituto.
Ahora no os podréis negar a resolver problemas de sistemas de ecuaciones en la universidad...
Hasta mañana...

2ºBCT:SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE PAG. 107 Y 108

Hola, os dejo las soluciones y las indicaciones para que hagáis los ejercicios por vuestra cuenta. Si os coincide con estas soluciones o los tenemos bien o yo me he equivocado (jejeje, soy humano).

107.
a) SCI, eliminamos 3ª fila y hacemos z = & --> x = (2+&)/2 ,   y = 7&/2
b) SI, no soluciones
c) SCD con las 3 primeras ecuaciones, soluciones x=1, y=2, z=3
d) SI, no soluciones

Os propongo que hagáis los ejercicios siguientes sobre sistemas homogéneos, ya sabéis que todos tienen solución trivial, todas las incógnitas igual a cero, pero hay ciertos matices según el rango de la matriz de los coeficientes.
108.
a) SCD, solución trivial
b) SCI, eliminamos 3ª fila,  z = $ --> x = -$,  y = -$
c) SCD, solución trivial
d) SCD, solución trivial pero además puede ser SCI,  sobra la incógnita t, que puede pasarse a la derecha y haciendo t =&  resulta que x = &/2,   y = -& / 2,   z = 2& / 7

Dicho esto, mañana veremos discusión de sistemas y cálculo de matrices inversas (y ecuaciones con matrices usando las matrices inversas)
Hasta mañana, recordad que estos ejercicios tenéis que repetirlos sin mirar las soluciones y controlando el tiempo empleado, para cuando hagáis la PAE.

2ºBCT:SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE DETERMINANTES DE ORDEN 4 (continuación)

Dado que el determinante de orden 4 del ejercicio 10a, no ha quedado claro cuánto vale, lo explico paso a paso para que veáis que da -72. Lo haré haciendo ceros en la primera fila.

1  0  -1  2    si sumamos 1ª y 3ª columna
2  3   2  -2    y la colocamos en 3ª columna
2  4   2  1     si  hacemos 2·3ª col + 4ª col
3  1   5  -3   y la colocamos en 4ª col

1  0   0   0
2  3   4   2       que es igual a  3  4  2
2  4   4   5                                 4  4   5
3  1   8  7                                  1   8   7

84 +64 + 20 -8 -120 -112 = 168 - 240 = -72

2ºBCT: RANGO DE MATRICES. SOLUCIONES

Os pongo las soluciones de los ejercicios mandados en clase y algunas orientaciones para resolverlos.
11. Rg A = 3, Rg B = 3, Rg C = 4, Rg D = 2
12
a) si a # 2 --> Rg 3, si a=2 --> Rg 2
b) Si a≠0 y a≠1/2 --> Rg 3, si a = 0 y a = 1/2 --> rg 2
c) Si a≠1 y a≠ -8 --> Rg 3, si a=1 y a = -8 --> rg 2
d) Si a≠1 y a≠ -1 --> Rg 3, si a = 1 y a= -1 --> rg 2
13.
a) Si a # 2 --> rg 4, si a = 2 --> rg 3
b) Si a=4 --> rg 1, Si a≠ 4 --> Rg 2
c) Si a≠1 --> Rg 2, si a=1 --> rg 1,
d) Si a≠0  --> Rg 2, si a = 0 --> rg 1

19. No puedo escribir tantos pasos en el blog, lo vemos mañana, de todas formas os recuerdo la propiedad en que podéis hacer ceros combinando líneas y la de separar un determinante como la suma de otros determinantes. En el A1, uno de los determinantes sumando es cero y el otro no tiene ya incógnitas, luego todo depende del último sumando.