1ºBHCS: LAS SOLUCIONES DE LOS PROBLEMAS PAG. 108

100) 8'5, 10'6, 8'7 €
101) a partir de 6 ventas
102) a partir de 5 horas
103) 220 kg
104) 75000 € en A, 25000 € en B
107) 17 y 19 cm
108) número 86
109) 5 amigos
110) No solución
111) lado = 4'62 cm, área = 110'85 cm cuadrados
112) No solución
113) Número 4
114) 4 cm
115) x = 20z/3, y = 8z/9
116) No solución
117) x > 6/5
118) (-0'77, 1'3)
119) (-1, 0)
120) cualquier número entero comprendido entre -5 y +4
122) bote = 0'38 €

2ºBCT:SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE INTEGRALES INDEFINIDAS

Hola, os pongo las soluciones que me pedisteis de integrales indefinidas para que comprobéis si los habéis hecho bien.

5a) 2/3·(raiz(e^x+1)- 2· raíz(e^x+1)

5b) 2/7· (1+x)^7/2  -4/5·(1+x)^5/2 + 2/3·(1+x)^3/2

6a)1/2· arcsen x + x/2· raíz(1-x^2)

6b) Se me ha olvidado hacerlo, mañana lo hago

7a) 2/3· x^3/2  - x - 4·ln (raiz x +1)

7b) ln( (raíz(x-1) +1) - ln ((raiz(x-1) -1))

8a) 3/10· (5x-2)^2/3

8b) 1/2· ln (e^2x +3)

9a) (x^2 -2x +3)·e^x

9b) (1-x)·senx + cos x

10a) 1/3· x·senx  + 1/9 · cos 3x

10b) (1/2· x^2 + x)· lnx - 1/4· x^2   - x

11a) (x+5)senx + cosx

11b) (1/3· x^3 + x^2)· lnx  - 1/9· x^3 - 1/2 · x^2

12a) (x^2 -x +2)· e^x

12b) 1/3· x^3· lnx - 1/9· x^3

13a) (3x-2)cosx + 3senx

13b) x^3 · arctan x - 1/2·x^2 + 1/2· ln (x^2 + 1)

14a) lnx - ln (x-1) - 1/(x-1)

el símbolo ^ significa obviamente "elevado a"

2ºBCT. VECTORES EN EL ESPACIO

Siempre que intentamos plasmar algo tridimensional en un plano como la pizarra o nuestro cuaderno nos cuesta hacerlo. Imaginad que dibujáis cajas trazando paralelas a los tres ejes cartesianos...

4º ESO matA: DIVISIÓN DE POLINOMIOS

Hola, os dejo un enlace donde podréis comprobar si habéis hecho bien la división de polinomios, que es la parte más difícil de operaciones con polinomios. Recordar que el símbolo que significa elevar a es ^

                                           DIVISIÓN DE POLINOMIOS

4º ESO matA: EJERCICIOS DE INTERÉS SIMPLE Y COMPUESTO

Hola, para preparar el examen de mañana os dejo el enlace a dos páginas web con ejercicios de interés simple y compuesto. Ejercicios resueltos por pasos:

PORCENTAJES, INTERÉS SIMPLE Y COMPUESTO

INTERÉS COMPUESTO

REGLAS DE 3 COMPUESTAS

2ºBCT. EJERCICIOS PAEG 2011. MENOS GEOMETRÍA ANALÍTICA

como prometí os dejo ejercicios solucionados de la PAEG del año 2011. Incluidos los de reserva. Falta la prueba de junio 2011 que la resolveré otro día. Está a mi letra intentando cubrir los huecos vacíos. Si algún paso no entendéis me lo comentáis en clase. Faltan los ejercicios de Geometría porque son demasiado extensos...

PAEG 2011

2ºESO: UN VÍDEO SOBRE POTENCIAS (LAS AVENTURAS DE TRONCHO Y PONCHO)

Hola, os pongo un vídeo sobre cómo se operan las potencias, cuyos protagonistas son Troncho y Poncho, que os enseñarán a operar con potencias y a ganar más de un millón de dólares. Para reir, y también para aprender de una vez las dichosas potencias.

2ºESO (MIGUEL ANGEL): UNA PÁGINA PARA PRACTICAR PROBLEMAS SENCILLOS

Os pongo un enlace a una página que te permite interactuar con ella para ver si sabéis resolver problemas relacionados con la multiplicación o división de números naturales.Los problemas son los mismos que en fracciones, lo único que cambian son los números

Pincha aquí:      
                                      PROBLEMAS SENCILLOS

Resumen Tema 2

Hola de nuevo chicos, os dejo la versión en pdf...   "Nos vemos en el aula...."

Resumen en pdf

2ºBCT. SOLUCIONES INTEGRALES INDEFINIDAS por partes

Hola, he descubierto que la integral que hemos dejado a medias es una integral impropia. Es decir, fuera de vuestro nivel. Por tanto, no intentéis la integral de senx·lnx porque no sale por ese método.

Por último, el ejercicio j) es un poco complicado si lo hacéis por partes. Es mejor emplear el siguiente truco

sen²x + cos²x = 1

 cos²x  -sen²x = cos 2x

Si restamos ambas igualdades obtenemos   2sen²x = 1 –cos 2x

Entonces sen²x = ½ (1-cos2x). Y la integral ahora se hace más fácil que por partes. Por lo demás he revisado el resto de integrales y son "asequibles". Lo siento por el error cometido.

2ºBCT: SOLUCIÓN DEL EJERCICIO 30, PAG. 121

La matriz A es inversible o regular si t es distinto de 2 y -6. Cuando t = 1, la matriz inversa es:

         11/7   -12/7   4/7
          4/7    -5/7     4/7
         -1/7    3/7    -1/7

La matriz B es regular si t es distinta de 1 y -1. Cuando t =2, la matriz inversa es:

-1/3    0   2/3
1/3     1   -2/3
2/3     0   -1/3

1ºbachilllerato ciencias. Tema 2. Álgebra

Hola chic@s, os dejo un enlace con el resumen del tema 2. Lo aconsejable sería tenerlo impreso para que podáis consultarlo.

RESUMEN

Nos vemos en clase

2ºBCT. PROBLEMAS DE SISTEMAS DE ECUACIONES DE 3 INCÓGNITAS

Hola bachilleres, os pongo un enlace a una página en pdf que tiene 38 problemas que se resuelven con sistemas de ecuaciones lineales. No he encontrado las soluciones pero ya sabéis que lo importante es el planteamiento y la resolución la podéis hacer de 3 maneras distintas. No os agobiéis, intentad hacer unos cuantos y resolvéis con la hoja de cálculo de una entrada anterior. No he visto ningún problema para descargarla desde mi ordenador. Os recuerdo, pincháis el enlace y arriba a la derecha le dais a descargar, y si os pregunta Abrir Guardar Cancelar le dais a Guardar y la abrís una vez descargada. Es una hoja de cálculo en versión antigua o sea que no da problemas con ordenadores antiguos o modernos. También os pongo una página con integrales por sustitución o cambio de variable, que ya están resueltos. Algunos después se tienen que resolver por racionales, pero coged aquellas integrales que tras el cambio de variable se integran inmediatamente.

PROBLEMAS DE SISTEMAS DE ECUACIONES

INTEGRALES POR CAMBIO DE VARIABLE

Venga, echad un vistazo que no cuesta nada, y practicáis... Nos vemos el jueves.

2ºBCT. EJERCICIOS SOBRE SISTEMAS EN FORMA MATRICIAL

Hoy hemos visto cómo calcular la matriz inversa y su utilidad para resolver sistemas en forma matricial. Si queréis podéis usar la hoja Excel para calcular la inversa, aunque Excel no usa fracciones sino decimales.

Os he hecho una hoja de cálculo preparada para realizar determinantes, matrices inversas y resolver sistemas compatibles determinados de 3 ecuaciones y 3 incógnitas. Ojo, es para comprobar resultados hechos a mano, no para venir a clase con las soluciones, porque se resuelven los problemas en la pizarra.
Pinchad en el siguiente enlace                                  EXCEL 2ºBCT

Haced los ejercicios de matriz inversa de orden 3 y 4 en la página 112, creo, no estoy seguro porque el libro me lo he dejado en el instituto.
Ahora no os podréis negar a resolver problemas de sistemas de ecuaciones en la universidad...
Hasta mañana...

4º ESO matA: NÚMEROS DECIMALES INFINITOS

El siguiente poema lo escribió el colombiano R. Nieto; aparece en su libro "Los números" y te permite conocer las 32 primeras cifras de pi, simplemente contando las letras de cada palabra en el poema:

soy π lema y razón ingeniosa

de hombre sabio que serie preciosa

valorando enunció magistral

con mi ley singular bien medido

el grande orbe por fin reducido

fue al sistema ordinario cabal.

3,14159 265358 979 323846 264338 32795...

Curioso, ¿no? Y a pesar de que ya se han calculado 1.351.100.000.000 de cifras del número π, gracias a potentes ordenadores, siguen sacando más cifras.

2ºBCT:SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE PAG. 107 Y 108

Hola, os dejo las soluciones y las indicaciones para que hagáis los ejercicios por vuestra cuenta. Si os coincide con estas soluciones o los tenemos bien o yo me he equivocado (jejeje, soy humano).

107.
a) SCI, eliminamos 3ª fila y hacemos z = & --> x = (2+&)/2 ,   y = 7&/2
b) SI, no soluciones
c) SCD con las 3 primeras ecuaciones, soluciones x=1, y=2, z=3
d) SI, no soluciones

Os propongo que hagáis los ejercicios siguientes sobre sistemas homogéneos, ya sabéis que todos tienen solución trivial, todas las incógnitas igual a cero, pero hay ciertos matices según el rango de la matriz de los coeficientes.
108.
a) SCD, solución trivial
b) SCI, eliminamos 3ª fila,  z = $ --> x = -$,  y = -$
c) SCD, solución trivial
d) SCD, solución trivial pero además puede ser SCI,  sobra la incógnita t, que puede pasarse a la derecha y haciendo t =&  resulta que x = &/2,   y = -& / 2,   z = 2& / 7

Dicho esto, mañana veremos discusión de sistemas y cálculo de matrices inversas (y ecuaciones con matrices usando las matrices inversas)
Hasta mañana, recordad que estos ejercicios tenéis que repetirlos sin mirar las soluciones y controlando el tiempo empleado, para cuando hagáis la PAE.

2ºBCT:SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE DETERMINANTES DE ORDEN 4 (continuación)

Dado que el determinante de orden 4 del ejercicio 10a, no ha quedado claro cuánto vale, lo explico paso a paso para que veáis que da -72. Lo haré haciendo ceros en la primera fila.

1  0  -1  2    si sumamos 1ª y 3ª columna
2  3   2  -2    y la colocamos en 3ª columna
2  4   2  1     si  hacemos 2·3ª col + 4ª col
3  1   5  -3   y la colocamos en 4ª col

1  0   0   0
2  3   4   2       que es igual a  3  4  2
2  4   4   5                                 4  4   5
3  1   8  7                                  1   8   7

84 +64 + 20 -8 -120 -112 = 168 - 240 = -72

2ºBCT: RANGO DE MATRICES. SOLUCIONES

Os pongo las soluciones de los ejercicios mandados en clase y algunas orientaciones para resolverlos.
11. Rg A = 3, Rg B = 3, Rg C = 4, Rg D = 2
12
a) si a # 2 --> Rg 3, si a=2 --> Rg 2
b) Si a≠0 y a≠1/2 --> Rg 3, si a = 0 y a = 1/2 --> rg 2
c) Si a≠1 y a≠ -8 --> Rg 3, si a=1 y a = -8 --> rg 2
d) Si a≠1 y a≠ -1 --> Rg 3, si a = 1 y a= -1 --> rg 2
13.
a) Si a # 2 --> rg 4, si a = 2 --> rg 3
b) Si a=4 --> rg 1, Si a≠ 4 --> Rg 2
c) Si a≠1 --> Rg 2, si a=1 --> rg 1,
d) Si a≠0  --> Rg 2, si a = 0 --> rg 1

19. No puedo escribir tantos pasos en el blog, lo vemos mañana, de todas formas os recuerdo la propiedad en que podéis hacer ceros combinando líneas y la de separar un determinante como la suma de otros determinantes. En el A1, uno de los determinantes sumando es cero y el otro no tiene ya incógnitas, luego todo depende del último sumando.

2ºBCT:SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE DETERMINANTES DE ORDEN 4

Como habéis podido comprobar, resolver determinantes de orden 4 es tarea pesada si se hace por los adjuntos de los elementos de una fila. Es mejor combinar filas entre sí de forma que una de ellas se anule menos un elemento. Sólo así podréis resolver con éxito los determinantes. Como he podido comprobar, domináis los determinantes de orden 2 y 3 y sus propiedades más importantes. FELICIDADES...
Las soluciones a los determinantes del ejercicio 11 de la página 96 son:
11a) -72,  b) -18,  c) 0   d) 938
Por si acaso voy a comprobarlo con mi máquina de hacer determinantes.Ah, claro, se me olvidaba deciros que la hoja de cálculo Excel sabe resolver determinantes numéricos...

Abrid una hoja de cálculo, escribid desde la casilla A1 en cada casilla el número correspondiente a cada elemento. Pinchad otra casilla y escribís =MDETERM(A1:D4).
No es magia, es EXCEL....

2ESO Y 4ESO: ¿SIRVEN LAS MATES PARA DESEMPEÑAR ALGÚN TRABAJO U OFICIO?

Muchos alumnos desanimados por la "cantidad de conocimientos matemáticos" que no aprenden, me preguntan si esto les serviría para trabajar en un oficio, yo les respondo tajantemente que sí. Para muestra bajaos el powerpoint interactivo que hice para despejar dudas sobre estos alumnos. La razón es muy sencilla: vivimos en un mundo lleno de cosas, que se pueden contar, se pueden medir, se pueden comparar, se pueden DIBUJAR, se pueden organizar,... y para eso empleamos NÚMEROS Y OPERACIONES. Si preguntáis a un niño de 2 años por los números responden enseguida satisfechos, mientras que posiblemente a otras cuestiones como colores, formas, comidas, etc... posiblemente no te responden porque no saben. Es decir, lo primero que aprendemos después de papá, mamá, teta, etc... son los números. Pinchad en el siguiente enlace y os ponéis a prueba. Tenéis que descargároslo primero. Archivo ---> Descargar ---> Abrir. Este trabajo tiene varios apartados: el propiamente dicho de "Matemáticas en el puesto de trabajo" y otros apartados como "Matemáticas de la vida cotidiana" y "Actividades de cálculo mental rápido". En fin, no me enrollo más. El enlace es aquí:        

  MATEMÁTICAS EN EL PUESTO DE TRABAJO

2ºESO: MATERIAL PARA PRACTICAR JUGANDO

Voy a empezar a poner material interesante para 2ºESO. Como bien sabéis me gusta mucho que la gente practique el cálculo mental competente. ¿Y qué mejor manera que jugando contra uno mismo o contra otros?
Pinchad en los siguientes enlaces y podréis comprobar vuestra competencia en cálculo mental?

Multiplicaciones

Divisiones

Raíz cuadrada de 10

Raíz cuadrada de 20

2ºBCT. SOLUCIONES A LAS PRIMERAS INTEGRALES INDEFINIDAS

Hola bachilleres, os pongo las soluciones de aquellas integrales que a mi entender más podéis fallar, que además son las más fáciles de escribir. Os daré una copia de todas las soluciones el viernes que viene.
Este signo ^  significa "elevado a"
i) -1/2x^2
j) 1/2 · arctan x
l) 10^x / ln10
u) 4 ln x
v) ln (x-2)
w) 1/2 · ln (2x -3)
y) 1/2 · e^2x

El lunes decidimos la fecha del primer examen y volvemos a los sistemas de ecuaciones con determinantes...
Ánimoooo.....

2ºBCT: MAÑANA EMPEZAMOS EL CÁLCULO DE INTEGRALES

Queridos alumnos, el grupo ha decidido por común acuerdo empezar el cálculo de integrales o primitivas de una función. Lo haremos todos los viernes. Empezamos pues, mañana. Traed la hoja resumen de derivadas, que está en una entrada anterior. Si no, no pasa nada, la imprimo y hago fotocopias. No os preocupéis, es un tema largo y no es difícil.El motivo es porque la 3ª evaluación es muy corta y no quiero dejar este tema a medias ya que en las pruebas de la PAE salen varios ejercicios relacionados con el cálculo. Quien no ha venido a clase, recordarle que hoy hemos visto los determinantes de orden 3 y los de orden superior, y he propuesto los ejercicios del libro página 84, ejercicio 1, cuya solución viene en el mismo libro.

2ºBCT: SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE GRAFOS

Queridos alumnos, os pongo las soluciones de los ejercicios de grafos, en aquellos que se pueden escribir en un blog, porque no puedo dibujar.

La matriz de los múltiplos de 24

          1    2    3    4    6    8   12   24
1        1    0    0    0    0    0    0     0
2        1    1    0    0    0    0    0     0
3        1    0    1    0    0    0    0     0
4        1    1    0    1    0    0    0     0
6        1    1    1    0    1    0    0     0
8        1    1    0    1    0    1    0     0
12      1    1    1    1    1    0    1     1
24      1    1    1    1    1    1    1     1

2ºBCT: LA SOLUCIÓN A LOS DIVISORES DE 36

Ya he vuelto de Madrid y aunque os prometí la solución esta noche, os la voy a poner ya.
La matriz del grafo tiene los siguientes componentes en horizontal y vertical

      1    2    3    4    6     9    12    18   36
1    1    0    0    0    0     0     0      0     0
2    1    1    0    0    0     0     0      0     0
3    1    0    1    0    0     0     0      0     0
4    1    1    0    1    0     0     0      0     0
6    1    1    1    0    1     0     0      0     0
9    1    0    1    0    0     1     0      0     0
12  1    1    1    1    1     0     1      1     1
18  1    1    1    0    1     1     0      1     1
36   1    1   1    1    1     1     1      1     1

A ver si podéis hacer solos la matriz de adyacencia del digrafo puesto en la entrada del día 28 de septiembre..

2ºBCT. EJERCICIOS SOBRE MATRICES DE ADYACENCIA

1. Sea la matriz de adyacencia con vértices A, B, C, D. Dibuja su grafo asociado:

        0 1 1 1

        1 0 1 0

        1 1 0 0

        1 0 0 0

2. Sea la matriz de adyacencia con vértices P, Q, R, T. Dibuja su grafo o digrafo

               0 1 1 0

               1 0 1 1

               0 1 0 0

               1 0 0 0

3. Halla la matriz de adyacencia que implica la relación "ser múltiplo de" si tenemos como elementos todos los divisores de 24 (1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24)

4. Halla la matriz de adyacencia del siguiente grafo:

El domingo por la noche pongo la solución de los múltiplos de 36.

2ºBCT: EJERCICIOS DE OPERACIONES CON MATRICES Y ECUACIONES CON MATRICES

Hola, acabo de llegar de Tarazona. Os propongo para empezar unos ejercicios fáciles. Página 72 ejercicios 1, 2 y 7, cuyas soluciones son:
1a)  -23   4    
       -12   4
1b)  -25/2   -2
       -11/2    1
1c)   21  -6
        8    -6
1d)   34   -16
         22   -9

2) 7

7a)   1   1   1
       -1   2  -1
7b)      1    4/3
            -2    -1


Mañana corregimos y empezamos grafos.

2ºBCT: APLICACIONES DE LAS MATRICES A GRAFOS

Queridos alumnos de segundo de bachillerato. Durante la reunión de departamento se discutió sobre posibles preguntas que pudieran salir en la PAE, y una de ellas que no viene en el libro que seguimos es la aplicación de matrices a redes o grafos. He hecho un documento en pdf con lo más importante de este tema: aplicar la teoría de grafos a las matrices. Pinchad en el enlace para que podáis descargarlo. Este viernes lo vemos en clase. También hablaremos de la necesidad de empezar ya con el cálculo integral. Luego lo discutiremos en clase.

GRAFOS Y MATRICES

2ºBCT: ÚLTIMAS SOLUCIONES A PLANTEAMIENTO DE PROBLEMAS

Problema 28: Caja A=19€, B=11€, C=6€

Problema 29: Considerad tiempo = espacio / velocidad. Pasad las velocidades a km/min y las horas a minutos.
Considerad también que A--->B es subida, llano, bajada, y por tanto B--->A subida, llano, bajada.
Las soluciones son: 31'725 km, 94'8 km, 64'475 km

LA TABLA DE DERIVADAS DE FUNCIONES

Ya os dije que la tabla de derivadas no cabía en la hoja de repaso. Por tanto, aquí la teneis, la más completa que he encontrado en la red, con las que más vais a utilizar y ejemplos de cada tipo. Pinchad en el siguiente enlace. Luego en clase decidiremos cuáles son las más significativas, ya que la mayoría se pueden deducir con el uso de las fórmulas del tema 0. La variable u se refiere a otra función interna a la función elemental. Las derivadas elementales se obtienen cambiando u por x, y por tanto u' = 1

TABLA DE DERIVADAS

EMPEZAMOS CON EL REPASO, TEMA ZERO

Queridos alumnos, ya podeis empezar a bajar documentación interesante, os dije que el tema 0 con las fórmulas más relevantes para usar en este curso os lo subía enseguida que tuviera un portátil. Pinchad en el siguiente enlace y lo comprobais. Os he puesto un poquito más de información. Creo que este año es el vuestro.

TEMA 0: REPASO