2ºBCT. PROBLEMAS DE SISTEMAS DE ECUACIONES DE 3 INCÓGNITAS

Hola bachilleres, os pongo un enlace a una página en pdf que tiene 38 problemas que se resuelven con sistemas de ecuaciones lineales. No he encontrado las soluciones pero ya sabéis que lo importante es el planteamiento y la resolución la podéis hacer de 3 maneras distintas. No os agobiéis, intentad hacer unos cuantos y resolvéis con la hoja de cálculo de una entrada anterior. No he visto ningún problema para descargarla desde mi ordenador. Os recuerdo, pincháis el enlace y arriba a la derecha le dais a descargar, y si os pregunta Abrir Guardar Cancelar le dais a Guardar y la abrís una vez descargada. Es una hoja de cálculo en versión antigua o sea que no da problemas con ordenadores antiguos o modernos. También os pongo una página con integrales por sustitución o cambio de variable, que ya están resueltos. Algunos después se tienen que resolver por racionales, pero coged aquellas integrales que tras el cambio de variable se integran inmediatamente.

PROBLEMAS DE SISTEMAS DE ECUACIONES

INTEGRALES POR CAMBIO DE VARIABLE

Venga, echad un vistazo que no cuesta nada, y practicáis... Nos vemos el jueves.

2ºBCT. EJERCICIOS SOBRE SISTEMAS EN FORMA MATRICIAL

Hoy hemos visto cómo calcular la matriz inversa y su utilidad para resolver sistemas en forma matricial. Si queréis podéis usar la hoja Excel para calcular la inversa, aunque Excel no usa fracciones sino decimales.

Os he hecho una hoja de cálculo preparada para realizar determinantes, matrices inversas y resolver sistemas compatibles determinados de 3 ecuaciones y 3 incógnitas. Ojo, es para comprobar resultados hechos a mano, no para venir a clase con las soluciones, porque se resuelven los problemas en la pizarra.
Pinchad en el siguiente enlace                                  EXCEL 2ºBCT

Haced los ejercicios de matriz inversa de orden 3 y 4 en la página 112, creo, no estoy seguro porque el libro me lo he dejado en el instituto.
Ahora no os podréis negar a resolver problemas de sistemas de ecuaciones en la universidad...
Hasta mañana...

4º ESO matA: NÚMEROS DECIMALES INFINITOS

El siguiente poema lo escribió el colombiano R. Nieto; aparece en su libro "Los números" y te permite conocer las 32 primeras cifras de pi, simplemente contando las letras de cada palabra en el poema:

soy π lema y razón ingeniosa

de hombre sabio que serie preciosa

valorando enunció magistral

con mi ley singular bien medido

el grande orbe por fin reducido

fue al sistema ordinario cabal.

3,14159 265358 979 323846 264338 32795...

Curioso, ¿no? Y a pesar de que ya se han calculado 1.351.100.000.000 de cifras del número π, gracias a potentes ordenadores, siguen sacando más cifras.

2ºBCT:SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE PAG. 107 Y 108

Hola, os dejo las soluciones y las indicaciones para que hagáis los ejercicios por vuestra cuenta. Si os coincide con estas soluciones o los tenemos bien o yo me he equivocado (jejeje, soy humano).

107.
a) SCI, eliminamos 3ª fila y hacemos z = & --> x = (2+&)/2 ,   y = 7&/2
b) SI, no soluciones
c) SCD con las 3 primeras ecuaciones, soluciones x=1, y=2, z=3
d) SI, no soluciones

Os propongo que hagáis los ejercicios siguientes sobre sistemas homogéneos, ya sabéis que todos tienen solución trivial, todas las incógnitas igual a cero, pero hay ciertos matices según el rango de la matriz de los coeficientes.
108.
a) SCD, solución trivial
b) SCI, eliminamos 3ª fila,  z = $ --> x = -$,  y = -$
c) SCD, solución trivial
d) SCD, solución trivial pero además puede ser SCI,  sobra la incógnita t, que puede pasarse a la derecha y haciendo t =&  resulta que x = &/2,   y = -& / 2,   z = 2& / 7

Dicho esto, mañana veremos discusión de sistemas y cálculo de matrices inversas (y ecuaciones con matrices usando las matrices inversas)
Hasta mañana, recordad que estos ejercicios tenéis que repetirlos sin mirar las soluciones y controlando el tiempo empleado, para cuando hagáis la PAE.

2ºBCT:SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE DETERMINANTES DE ORDEN 4 (continuación)

Dado que el determinante de orden 4 del ejercicio 10a, no ha quedado claro cuánto vale, lo explico paso a paso para que veáis que da -72. Lo haré haciendo ceros en la primera fila.

1  0  -1  2    si sumamos 1ª y 3ª columna
2  3   2  -2    y la colocamos en 3ª columna
2  4   2  1     si  hacemos 2·3ª col + 4ª col
3  1   5  -3   y la colocamos en 4ª col

1  0   0   0
2  3   4   2       que es igual a  3  4  2
2  4   4   5                                 4  4   5
3  1   8  7                                  1   8   7

84 +64 + 20 -8 -120 -112 = 168 - 240 = -72

2ºBCT: RANGO DE MATRICES. SOLUCIONES

Os pongo las soluciones de los ejercicios mandados en clase y algunas orientaciones para resolverlos.
11. Rg A = 3, Rg B = 3, Rg C = 4, Rg D = 2
12
a) si a # 2 --> Rg 3, si a=2 --> Rg 2
b) Si a≠0 y a≠1/2 --> Rg 3, si a = 0 y a = 1/2 --> rg 2
c) Si a≠1 y a≠ -8 --> Rg 3, si a=1 y a = -8 --> rg 2
d) Si a≠1 y a≠ -1 --> Rg 3, si a = 1 y a= -1 --> rg 2
13.
a) Si a # 2 --> rg 4, si a = 2 --> rg 3
b) Si a=4 --> rg 1, Si a≠ 4 --> Rg 2
c) Si a≠1 --> Rg 2, si a=1 --> rg 1,
d) Si a≠0  --> Rg 2, si a = 0 --> rg 1

19. No puedo escribir tantos pasos en el blog, lo vemos mañana, de todas formas os recuerdo la propiedad en que podéis hacer ceros combinando líneas y la de separar un determinante como la suma de otros determinantes. En el A1, uno de los determinantes sumando es cero y el otro no tiene ya incógnitas, luego todo depende del último sumando.

2ºBCT:SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE DETERMINANTES DE ORDEN 4

Como habéis podido comprobar, resolver determinantes de orden 4 es tarea pesada si se hace por los adjuntos de los elementos de una fila. Es mejor combinar filas entre sí de forma que una de ellas se anule menos un elemento. Sólo así podréis resolver con éxito los determinantes. Como he podido comprobar, domináis los determinantes de orden 2 y 3 y sus propiedades más importantes. FELICIDADES...
Las soluciones a los determinantes del ejercicio 11 de la página 96 son:
11a) -72,  b) -18,  c) 0   d) 938
Por si acaso voy a comprobarlo con mi máquina de hacer determinantes.Ah, claro, se me olvidaba deciros que la hoja de cálculo Excel sabe resolver determinantes numéricos...

Abrid una hoja de cálculo, escribid desde la casilla A1 en cada casilla el número correspondiente a cada elemento. Pinchad otra casilla y escribís =MDETERM(A1:D4).
No es magia, es EXCEL....

2ESO Y 4ESO: ¿SIRVEN LAS MATES PARA DESEMPEÑAR ALGÚN TRABAJO U OFICIO?

Muchos alumnos desanimados por la "cantidad de conocimientos matemáticos" que no aprenden, me preguntan si esto les serviría para trabajar en un oficio, yo les respondo tajantemente que sí. Para muestra bajaos el powerpoint interactivo que hice para despejar dudas sobre estos alumnos. La razón es muy sencilla: vivimos en un mundo lleno de cosas, que se pueden contar, se pueden medir, se pueden comparar, se pueden DIBUJAR, se pueden organizar,... y para eso empleamos NÚMEROS Y OPERACIONES. Si preguntáis a un niño de 2 años por los números responden enseguida satisfechos, mientras que posiblemente a otras cuestiones como colores, formas, comidas, etc... posiblemente no te responden porque no saben. Es decir, lo primero que aprendemos después de papá, mamá, teta, etc... son los números. Pinchad en el siguiente enlace y os ponéis a prueba. Tenéis que descargároslo primero. Archivo ---> Descargar ---> Abrir. Este trabajo tiene varios apartados: el propiamente dicho de "Matemáticas en el puesto de trabajo" y otros apartados como "Matemáticas de la vida cotidiana" y "Actividades de cálculo mental rápido". En fin, no me enrollo más. El enlace es aquí:        

  MATEMÁTICAS EN EL PUESTO DE TRABAJO

2ºESO: MATERIAL PARA PRACTICAR JUGANDO

Voy a empezar a poner material interesante para 2ºESO. Como bien sabéis me gusta mucho que la gente practique el cálculo mental competente. ¿Y qué mejor manera que jugando contra uno mismo o contra otros?
Pinchad en los siguientes enlaces y podréis comprobar vuestra competencia en cálculo mental?

Multiplicaciones

Divisiones

Raíz cuadrada de 10

Raíz cuadrada de 20

2ºBCT. SOLUCIONES A LAS PRIMERAS INTEGRALES INDEFINIDAS

Hola bachilleres, os pongo las soluciones de aquellas integrales que a mi entender más podéis fallar, que además son las más fáciles de escribir. Os daré una copia de todas las soluciones el viernes que viene.
Este signo ^  significa "elevado a"
i) -1/2x^2
j) 1/2 · arctan x
l) 10^x / ln10
u) 4 ln x
v) ln (x-2)
w) 1/2 · ln (2x -3)
y) 1/2 · e^2x

El lunes decidimos la fecha del primer examen y volvemos a los sistemas de ecuaciones con determinantes...
Ánimoooo.....

2ºBCT: MAÑANA EMPEZAMOS EL CÁLCULO DE INTEGRALES

Queridos alumnos, el grupo ha decidido por común acuerdo empezar el cálculo de integrales o primitivas de una función. Lo haremos todos los viernes. Empezamos pues, mañana. Traed la hoja resumen de derivadas, que está en una entrada anterior. Si no, no pasa nada, la imprimo y hago fotocopias. No os preocupéis, es un tema largo y no es difícil.El motivo es porque la 3ª evaluación es muy corta y no quiero dejar este tema a medias ya que en las pruebas de la PAE salen varios ejercicios relacionados con el cálculo. Quien no ha venido a clase, recordarle que hoy hemos visto los determinantes de orden 3 y los de orden superior, y he propuesto los ejercicios del libro página 84, ejercicio 1, cuya solución viene en el mismo libro.

2ºBCT: SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE GRAFOS

Queridos alumnos, os pongo las soluciones de los ejercicios de grafos, en aquellos que se pueden escribir en un blog, porque no puedo dibujar.

La matriz de los múltiplos de 24

          1    2    3    4    6    8   12   24
1        1    0    0    0    0    0    0     0
2        1    1    0    0    0    0    0     0
3        1    0    1    0    0    0    0     0
4        1    1    0    1    0    0    0     0
6        1    1    1    0    1    0    0     0
8        1    1    0    1    0    1    0     0
12      1    1    1    1    1    0    1     1
24      1    1    1    1    1    1    1     1

2ºBCT: LA SOLUCIÓN A LOS DIVISORES DE 36

Ya he vuelto de Madrid y aunque os prometí la solución esta noche, os la voy a poner ya.
La matriz del grafo tiene los siguientes componentes en horizontal y vertical

      1    2    3    4    6     9    12    18   36
1    1    0    0    0    0     0     0      0     0
2    1    1    0    0    0     0     0      0     0
3    1    0    1    0    0     0     0      0     0
4    1    1    0    1    0     0     0      0     0
6    1    1    1    0    1     0     0      0     0
9    1    0    1    0    0     1     0      0     0
12  1    1    1    1    1     0     1      1     1
18  1    1    1    0    1     1     0      1     1
36   1    1   1    1    1     1     1      1     1

A ver si podéis hacer solos la matriz de adyacencia del digrafo puesto en la entrada del día 28 de septiembre..