Proceso para la tangente:
1. Hallar el punto de tangencia de coordenadas (a, f(a))
2. Hallar el valor de la derivada de f(x) en x = a, o sea, f '(a), que es la pendiente m de la recta tangente y = mx + n
3. Sustituir x por a, y por f(a) y m por f '(a) y así hallar n.
Para la recta normal, se procede de forma similar pero ahora la pendiente es m' = -1 / f ' (a). Recordar que es el valor opuesto al valor inverso, o la inversa del opuesto.
Sustituimos x por a, y por f(a) y la pendiente m' en la ecuación de la recta.
También podemos hacerlo por la expresión de la recta dada en su forma punto-pendiente
y - f(a) = m (x -a)
EJERCICIOS Y SUS SOLUCIONES
1. Hallar la ecuación de la recta tangente a la parábola y = x2 − 4x + 3 en el punto x = 4.
Soluc: y = 4x − 13
2. Hallar la normal a la función anterior en el mismo punto
Soluc: y = -1/4 · x + 4
3. Hallar la recta tangente y normal a la parábola y = x2 − 7x + 12 en x = 2.
Soluc: y = -3x +8 y =1/3 ·x + 4/3
4. ¿En qué punto la curva de ecuaciòn y = 3x2 - 5x + 1 tendrá una recta tangente paralela
a la recta de ecuación y = 7x − 3?.
Soluc:: (2, 3).
5. Hallar la recta normal a la curva anterior en x = 0
Soluc: y = 1/5·x + 1
6. Hallar el valor de a para que la curva y = 2x3 − 3x2 + a y la recta y = 12x − 1 sean
tangentes. ¿Cuál es el punto de tangencia?.
Solución: Dos soluciones: a = −8, P(−1,−13) ; a = 19, P(2, 23).
7. Hallar la ecuación de la recta normal a la hipérbola y = 1/ x en el punto (1, 1). Repetir para
el punto (−1,−1). Interpretar el resultado.
Solución: y = x, y = x. Es la misma recta.
8. Determinar la ecuación de la recta que pasa por el punto A(1, 2) y por el punto B(3, n),
siendo n el valor de la derivada de la función y = 3x2 − 6x − 1 en el punto de abscisa x = 1.
Solución: y = - x + 3
9. Hallar la ecuaci´on de la tangente y de la normal a la curva y =1/6 ·x3 + 1/3· x + 1 en el punto
de abscisa x = 2.
Solución: 7x − 3y − 5 = 0, 3x + 7y − 27 = 0.
10. La recta de ecuación y = 6x + a es tangente a la curva y = (bx − 1)/ (bx + 1) en el punto x = 0.
Calcular a y b.
Solución: a = −1, b = 3.
11. Hallar el punto de la curva: y = ln(1 + x2) en el que la tangente es perpendicular a la tangente trazada por el punto x = 1.
Solución: (−1, ln 2).
12. Probar que la recta y = −x es tangente a la gráfica de la función: f(x) = x3 − 6x2 + 8x
Hallar el punto de tangencia y estudiar si esta tangente corta a la gráfica en algún punto
distinto del punto de tangencia.
Soluc: (3,−3). Sí, en el punto (0, 0).
Esto es una muestra de ejercicios que os podrían salir en la paeg referentes a rectas tangentes y normales. Si alguno no os sale, los vemos en clase. Ciao.
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