LAS TANGENTES Y NORMALES A UNA CURVA

Hola Bachilleratos os pongo una muestra de problemas relativos a hallar las rectas tangentes y normales a una curva o función f(x) en un punto x=a
Proceso para la tangente:
1. Hallar el punto de tangencia de coordenadas (a, f(a))
2. Hallar el valor de la derivada de f(x) en x = a, o sea, f '(a), que es la pendiente m de la recta tangente y = mx + n
3. Sustituir x por a, y por f(a) y m por f '(a) y así hallar n.

Para la recta normal, se procede de forma similar pero ahora la pendiente es m' = -1 / f ' (a). Recordar que es el valor opuesto al valor inverso, o la inversa del opuesto.
Sustituimos x por a, y por f(a) y la pendiente m' en la ecuación de la recta.


También podemos hacerlo por la expresión de la recta dada en su forma punto-pendiente
y - f(a) = m (x -a)

EJERCICIOS Y SUS SOLUCIONES

1. Hallar la ecuación de la recta tangente a la parábola y = x2 − 4x + 3 en el punto x = 4.
Soluc: y = 4x  − 13

2. Hallar la normal a la función anterior en el mismo punto
Soluc: y = -1/4 · x + 4

3. Hallar la recta tangente y normal a la parábola y = x2 − 7x + 12 en x = 2.
Soluc:  y = -3x +8       y =1/3 ·x  + 4/3

4. ¿En qué punto la curva de ecuaciòn y = 3x2 - 5x + 1 tendrá una recta tangente paralela
a la recta de ecuación y = 7x − 3?.
Soluc:: (2, 3).

5. Hallar la recta normal a la curva anterior en x = 0
Soluc:  y = 1/5·x + 1

6. Hallar el valor de a para que la curva y = 2x3 − 3x2 + a     y la recta y = 12x − 1 sean
tangentes. ¿Cuál es el punto de tangencia?.
Solución: Dos soluciones: a = −8, P(−1,−13) ; a = 19, P(2, 23).

7. Hallar la ecuación de la recta normal a la hipérbola y = 1/ x en el punto (1, 1). Repetir para
el punto (−1,−1). Interpretar el resultado.
Solución: y = x, y = x. Es la misma recta.

8. Determinar la ecuación de la recta que pasa por el punto A(1, 2) y por el punto B(3, n),
siendo n el valor de la derivada de la función y = 3x2 − 6x − 1 en el punto de abscisa x = 1.
Solución: y =   - x + 3

9. Hallar la ecuaci´on de la tangente y de la normal a la curva y =1/6 ·x3 + 1/3· x + 1  en el punto
de abscisa x = 2.
Solución: 7x − 3y − 5 = 0, 3x + 7y − 27 = 0.

10. La recta de ecuación y = 6x + a es tangente a la curva y = (bx − 1)/ (bx + 1) en el punto x = 0.
Calcular a y b.
Solución: a = −1, b = 3.

11. Hallar el punto de la curva:   y = ln(1 + x2)  en el que la tangente es perpendicular a la tangente trazada por el punto x = 1.
Solución: (−1, ln 2).

12. Probar que la recta y = −x es tangente a la gráfica de la función:  f(x) = x3 − 6x2 + 8x
Hallar el punto de tangencia y estudiar si esta tangente corta a la gráfica en algún punto
distinto del punto de tangencia.
Soluc: (3,−3). Sí, en el punto (0, 0).


Esto es una muestra de ejercicios que os podrían salir en la paeg referentes a rectas tangentes y normales. Si alguno no os sale, los vemos en clase. Ciao.

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Hola Bachilleratos, os presentamos una página de internet, que escribiendo la expresión analítica de una función os sale la representación de su gráfica, sus límites en el infinito (asíntotas horizontales), su derivada, etc...   Se llama Wolframalpha. Pincha AQUÍ.

Tiene un problema, las instrucciones vienen en inglés, pero es muy intuitivo...

SOLUCIONES FASE SEMIFINAL NIVEL 12-14

Problema 1: El octógono así formado no es regular ya que el lado de corte en diagonal es mayor que el lado resultante 1/3 del corte. Sale para el lado vertical u horizontal 1/3 del lado, 0,3333·lado, pero para el lado de corte en diagonal sale 0,47·lado. Para que sea regular tenéis que usar el teorema de Pitágoras, y una ecuación de segundo grado.
De modo que llamamos x a la diagonal de corte, igual al lado del octógono.El triángulo tras prolongar los lados horizontales y verticales son (1-x)/2. Por teorema de Pitágoras:

cuya solución es para el lado 0,366 veces el lado del cuadrado, y debemos cortar a 0,317 veces el lado del cuadrado desde cada vértice. Un poquito menos que la tercera parte del lado.

Problema 2: Con una chica tenemos la posibilidad de 20 chicos máximo, de los cuales pueden ser amigos desde 0 a 20. Con dos chicas, hay 19 y el número de chicos decrece, ya no es máximo. Por tanto, el máximo es 20 chicos.

Problema 3: Supongamos la peor de las malas suertes, como hay más verdes, es más fácil gastar menos euros en chicles hasta que salga otro verde: 1 € para el primer verde, 9 € para gastar los no verdes, 1 € para el siguiente verde. Total 11 €
Imaginemos el primer chicle sea rojo: 1 € para el rojo, 11 € para gastar los no rojos, y 1 € más para el siguiente rojo. Total 13€
Imaginemos el primer chicle sea azul: 1 € para el azul, 10 € para gastar los no azules, 1 € para el siguiente azul.
Total 12 €
Si echamos cuentas sale más barato que salga verde por primera vez.

SOLUCIONES FASE SEMIFINAL NIVEL 14-16

Naranja o limón? Sólo sabemos que hay en la bolsa un caramelo de naranja de 4 en total, pero no conocemos la totalidad de los cuatro. Entonces tenemos 4 posibles bolsas:  1N 3L, 2N 2L, 3N 1L, 4N, todas ellas posibles por desconocidas. con 1/4 de probabilidad de elegirlas.
p(N) = 1/4 .( 1/4 + 1/2 + 3/4 + 1) = 1/4 · 5/2 = 5/8


El 2º problema es darse cuenta que la altura del triángulo comprende 7 radios (repasar ortocentro de un triángulo para verlo), como es equilátero de radio 1, su altura es raíz de 3 / 2, por tanto un radio es raíz de 3 / 14.

Numb3rs: Se trata de descubrir un número cuyo cuadrado esté entre 1000 y 9999, o sea, entre 32 al cuadrado y 99 al cuadrado, y ver cuál es el que cumple que las dos primeras cifras sean iguales y las dos últimas cifras también iguales. Ese número es 88 al cuadrado. Una pista, para que fuera aabb el número resulta que éste debe ser divisible por 11, luego los candidatos serían 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99 nada más. En fin, 88 al cuadrado es el único, y es igual a 7744. 

OLIMPIADA MATEMÁTICA: SEMIFINALES, PROBLEMAS NIVEL 14-16

PROBLEMA 1: ¿NARANJA O LIMÓN?
María tiene una bolsa con cuatro caramelos cada uno de los cuales puede ser de naranja o de limón. Invita a Alicia a sacar uno.
Antes María le dice a Alicia "como sé que te gustan más, te digo que hay al menos un caramelo de naranja en la bolsa"
¿Cuál es la probabilidad de que Alicia coja un caramelo de naranja?

PROBLEMA 2: TRIÁNGULO CON CIRCUNFERENCIAS
En esta figura las tres circunferencias son iguales y tangentes. Sabiendo que el lado del triángulo equilátero mide una unidad, calcula el radio de las circunferencias.







PROBLEMA 3: NUMB3RS
Cuando paseaban por la ciudad tres matemáticos, observaron que el conductor de un automóvil infringió el reglamento de tráfico. Ninguno de los tres recordaba el número de cuatro cifras de la matrícula, pero como los tres eran matemáticos, cada uno de ellos advirtió alguna particularidad de dicho número. Larry advirtió que las dos primeras cifras eran iguales. Amita se dio cuenta de que también coincidían las dos últimas cifras. Y por último, Charlie aseguraba que todo el número de cuatro cifras era un cuadrado exacto. ¿Puedes determinar el número de la matrícula valiéndote de estos datos?


Las soluciones el próximo día.

OLIMPIADA MATEMÁTICA: SEMIFINALES, PROBLEMAS NIVEL 12-14

PROBLEMA 1.
Por los cuatro costados: Dibuja un cuadrado cualquiera y divide sus lados en tres partes iguales. A continuación unes cada dos puntos consecutivos obteníendose un octógono. ¿Crees que es regular? En caso que no, ¿cómo se habría de efectuar la división de los lados del cuadrado para que así lo sea?

PROBLEMA 2.
Amigos para siempre. En la clase de 1ºESO hay 21 alumnos. Si sabemos que cada chica tiene un número diferente de amigos varones. ¿Cuál es el número máximo de chicos que puede haber en 1ºC?

PROBLEMA 3.
Un problema pegajoso. ¡Mamá quiero un chicle! dijo el primer gemelo. ¡Yo también y lo quiero del mismo color que Pablo! Dijo Jesús el segundo gemelo al ver la máquina de chicles a 1€. La máquina de chicles contiene 6 chicles color verde, 5 azules y 4 rojos, y no hay forma de saber cuál de ellos va a salir.
¿Cuántos euros debe gastarse su madre para asegurarse que los dos gemelos tienen dos chicles del mismo color? ¿Y si los dos quieren verde?. Razona tu respuesta.

LAS FOTOS DE LA OLIMPIADA MATEMÁTICA

Unas fotos para el recuerdo, la participación de nuestros alumnos en la XXIII Olimpiada Matemática. Esperemos que pasen a la siguiente fase final.

En la puerta de la Facultad de Ingeniería, antes de realizar las tareas encomendadas: Mateo, Andrés, Elena, Ana Mª, Anabel, Alba, Noelia, Nuria.

Los alumnos realizando SUPERPROBLEMAS.

Los alumnos despidiéndose con la satisfacción de la realización de las pruebas.

Hasta el año que viene.