UN VIDEO SOBRE EL VOLUMEN DE LAS PIRÁMIDES

Os dejo con estos videos sobre cálculo de volúmenes de cuerpos geométricos, tanto poliedros como cuerpos redondos. Son como lo he explicado en clase pero de una forma más tangible, llenando los cuerpos con arroz...

EL DESARROLLO EN EL PLANO DE LOS POLIEDROS

Todo poliedro se puede desarrollar en el plano, también aquellos cuerpos de revolución que tienen generatriz. Estos desarrollos no son únicos, admiten alternativas. Pero si quieres ver un desarrollo de cada cuerpo, y así construir tus propios poliedros, pincha en el siguiente enlace.   DESARROLLO DE POLIEDROS
o descargaros en pdf todos los poliedros de una, pincha aquí POLIEDROS PDF

Si queréis construiros un poliedro de cartón de embalaje sigue los siguientes pasos:

1. Dibuja sobre un cartón de embalaje el desarrollo de ese poliedro. Ayúdate de figuras de cartón duro para dibujarlos rápida y cómodamente.
2. Recorta con un cutter el contorno exterior
3. Haz un corte suave (sin llegar a traspasar el cartón) sobre cada línea marcada.
4. Dobla por las líneas marcadas para que tome su forma tridimensional.
5. Une con cinta de carrocero las aristas que quedan sueltas.
6. Pasa cinta de carrocero por todas las aristas para que queden suaves.
7. Opcionalmente, se pinta. Primero una capa de pintura blanca o de imprimación para que no se vean imperfecciones o la misma cinta de carrocero. Después pinta cada cara con los colores que más te gusten.
8. Opcionalmente, para que se noten las aristas, pasa cinta aislante negra por todas las aristas. 

Resultados como éstos que hice en una exposición en el instituto de Aguas Nuevas. Espero traer esta exposición a las aulas de Tarazona.

PRACTICANDO LAS ÁREAS DE FIGURAS

Antes de empezar el tema de poliedros hemos dado un repaso a las áreas de figuras planas: cuadrado, rectángulo, romboide, triángulo, rombo, trapecio, polígono regular y círculo.
Si quereis practicar el cálculo de áreas pinchad en el siguiente enlace

Áreas de figuras planas

EL VOLUMEN DE UNA PIRÁMIDE

Como hemos dicho en clase, el volumen de una pirámide es la tercera parte del volumen de un prisma con misma base y altura que la pirámide. Para demostrarlo a mis alumnos,...
a) cogemos un prisma y una pirámide con misma base y misma altura, y podemos ver que llenamos con agua 3 pirámides y completan el volumen del prisma. Siempre hay un pequeño error por la imprecisión de las construcciones geométricas y porque no enrasamos bien al llenar la pirámide o porque perdemos algo de líquido en los trasvases de agua. Pero aproximadamente coincide. Siempre hay más de un alumno que no termina de convencerse...
b) pinchad aquí y podreis ver cómo un cubo se puede partir en tres pirámides exactamente iguales con misma base y misma altura. Por tanto 3·Volumen pirámide = Volumen prisma
c) mirad este cubo,trazando sus cuatro diagonales en el espacio, se divide en 6 pirámides con misma base que el cubo y altura la mitad de la arista del cubo; podemos decir que el cubo es el volumen de 2 cajas o prismas cuadrados con misma base y altura la mitad de la arista del cubo, que es la altura de las pirámides. Por tanto, 6·Volumen pirámide = Volumen cubo = 2·Volumen caja o prisma. Es decir,

3·Volumen pirámide = Volumen prisma.

Por tanto, el volumen de la pirámide es la tercera parte del volumen de un prisma con las mismas dimensiones.

Haciendo una analogía o similitud entre prisma y cilindro,porque cilindro es el cuerpo de un prisma cuya base tiene muuuuuchos lados, infinitos, podemos ver que las fórmulas de un prisma se pueden aplicar a un cilindro. Basta con cambiar Sbase por pi·r^2 y altura la misma que la del prisma. Para el volumen de un cono haríamos la tercera parte del volumen de un cilindro.

En resumen:
Vprisma = Sbase · h
Vpirámide = Sbase·h /3
Vcilindro = pi· r^2 ·h
V cono = pi · r^2 · h /3

UNA VISITA AL MUSEO

Hola, ya sabemos que todos estamos muy liados y que no hay tiempo para visitas turísticas y mucho menos si sale la palabra MATEMÁTICAS a relucir, pero en el museo de la Cuchillería de Albacete, en la Plaza de la CAtedral hay una exposición llamada "IMAGINARY, una mirada matemática", del 12 de mayo de 2012 al 10 de junio de 2012.De martes a domingo por las mañanas y de martes a sábado por las tardes (17:30 - 20:00 h). Entre otras cosas veréis que muchas ecuaciones sencillas tienen unas gráficas sorprendentes.
Como muestra, un limón matemático es

Si alguien tiene más curiosidad y quiere saber más, visitad  www.rsme-imaginary.es  

1ºBHCS:SOLUCIONES EJERCICIOS PROBABILIDAD

Hola Bachilleratos, os pongo las soluciones de los ejercicios que han quedado sin resolver en clase. Pág. 285 libro.
Ejercicio 63 a) 1/7,  b) 3/35,  c) 19/70,  d) 1/2,    e) 1/2
Ejercicio 64 a) 1/12,   b) 41/120,  c) 13/20,   d) 4/15,  e) 11/48
Ejercicio 66  no hacerlo
Ejercicio 67,  a) 0'4   b) 0'14,   c) 0'725   d) 0'05   e) 0'36

Hasta la próxima entrada

REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES: PROTOCOLO

Para representar funciones de cualquier tipo, es conveniente seguir este protocolo:

1. Dominio: Excluir aquellos puntos que hagan cero el denominador. En esos valores posiblemente haya asíntotas verticales. Excluir puntos que hagan negativo el interior de una raíz de índice par.Excluir aquellos puntos que hagan negativo el interior de un logaritmo.
2. Corte con eje Y: hacemos f(x) = 0. Hallamos sus raíces.

Hacemos con esta información una tabla de las regiones de existencia, viendo qué signo toma la función entre cada dos puntos, de los hallados anteriormente.

Si f (x) < 0, la gráfica va por debajo del eje X, tachamos la zona del plano por encima del eje X.

Si f (x) > 0, la gráfica va por encima del eje X, tachamos la zona del plano por debajo del eje X.

Ejemplo:

 

Marcamos x = 1, x = -1, por hacer ceros en la función. Marcamos x = -3, x = 2 por hacer ceros en el denominador. Y probamos el signo de f(x) a la izq. de -3, (-3, -1), (-1, 1), (1, 2) y a la derecha de 2.

Fijaos cómo va la gráfica realmente.

Ahora hallamos sus asíntotas, si las tiene.

1. Asíntotas horizontales: Las asíntotas horizontales son rectas de ecuación: y = k.  En nuestro ejemplo, lim (+ o - ∞) = 1, por tanto Asíntota horizontal en y =1

 

1. Asíntotas verticales:Las asíntotas verticales son rectas de ecuación: x = k.  En nuestro ejemplo, hacemos límites a la izquierda y derecha de los puntos eliminados del dominio. Lim -3 (-) = +∞ . lim -3(+) = -∞, lím 2(-) = - ∞, lim 2(+) = +∞. Por tanto, asíntotas verticales en x= -3,  x= 2
   
2. Asíntotas oblícuas.Las asíntotas oblicuas son rectas de ecuación:
   
    

Ahora determinamos su crecimiento, decrecimiento. Hacemos f '(x) = 0. Miramos qué signo toma la derivada entre cada dos puntos de los hallados en este apartado. Hallamos máximos y mínimos y puntos de inflexión.

TEOREMAS RELACIONADOS CON LAS DERIVADAS

Tenemos 3 teoremas que pueden salir en la PAEG, relacionados con las derivadas.
TEOREMA DE ROLLE, TEOREMA DEL VALOR MEDIO DE LAGRANGE y TEOREMA DEL VALOR MEDIO GENERALIZADO DE CAUCHY. Los 3 deben cumplir los siguientes requisitos:
f(x) debe ser continua y derivable en un intervalo (a, b) considerado.

TEOREMA DE ROLLE:  Si f(x) es continua y derivable en (a, b) y se cumple que f(a) = f(b), entonces existe al menos un valor c, perteneciente al intervalo (a, b) donde se cumple que f'(c) = 0

Siempre se dice un valor c, pero puede haber más de un valor c, por eso se dice existe al menos 1 valor c. Fijaos en esta gráfica, tiene 3 valores dentro de (a, b) donde se cumple que f'(c)=0

TEOREMA DE LAGRANGE o del Valor Medio: Si f(x) es continua y derivable en (a, b) entonces existe al menos un valor c, perteneciente al intervalo (a, b) donde se cumple que

Explicación gráfica de este teorema: podemos encontrar un punto del intervalo (a,b) donde la tangente a la curva sea paralela a la tangente a la recta que une los puntos (a, f(a)) y (b, f(b))

Pero puede haber más de un valor, como en la figura de la derecha:

fijaos que es un teorema que abarca al teorema de Rolle, ya que si f(b) = f(a), entonces su resta es cero, y por tanto f'(c) debe ser cero.

TEOREMA DE CAUCHY o del Valor Medio Generalizado: Si f(x) y g(x) son continuas y derivables en (a, b), entonces existe al menos un valor c, perteneciente al intervalo (a, b) donde se cumple que 

Obviamente este teorema deja de cumplirse si los denominadores de ambos lados son cero.Este último teorema no viene en el libro, CUIDADO, hay que aprenderlo... Cómo obtenerlo, si aplicamos Teorema de Lagrange a dos funciones f(x) y g(x)  en el mismo intervalo (a,b) y despejamos b - a   en ambos casos e igualamos ambas expresiones obtenemos la expresión de este teorema.

OPTIMIZACIÓN DE FUNCIONES

Trata de encontrar los máximos y mínimos relativos de una función, procedimiento f’(x) =0. También pueden salir puntos de inflexión (hacen f’'(x)=0, pero no cambian el crecimiento o decrecimiento de la función, la  derivada a ambos lados del punto de inflexión mantiene su signo +,- 

Ejem:  f(x) = x⁶ – x⁵. Su derivada es 6x⁵ – 5x⁴.  Haciendo 6x⁵ – 5x⁴ = 0, obtenemos como valores posibles x=0,  x= 5/6.

Haciendo una valoración en las tres regiones determinadas por las soluciones anteriores, podemos ver qué representa cada punto.

X<0,  f’(-1) = -6 – 5 = -11, f(x) decrece a la izquierda de cero ↘

0<x< 5/6, f’(0’5) = -0’125, f(x) decrece en ese intervalo ↘ ;     en x = 0 hay un punto de inflexión

x> 5/6, f’(1) = 6 – 5 = +1, la función crece a la derecha de 5/6  ↗; en x=5/6 hay un mínimo.

PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN DE FUNCIONES. Se trata de resolver problemas donde hay una función objetivo, la función a optimizar, que depende de una o varias variables. Pasos:

1.       encontrar la función a optimizar

2.       encontrar la variable x con la que están relacionados todos los datos.

3.       Encontrar la relación entre datos, en geometría hay que recordar y aplicar propiedades o relaciones entre ángulos, distancias, superficies, volúmenes, etc…

4.       Definir la función a optimizar

5.       Derivar la función e igualar a cero.

6.       Si sale más de un valor, decidir cuál hace la función objetivo máxima o mínima.

Ejemplo: Se quiere vallar una parcela rectangular de 2500m², con la condición de que la longitud de valla empleada sea mínima. ¿Qué dimensiones tiene la parcela?

Función objetivo: perímetro mínimo.    Datos:  perímetro = 2x + 2y ,      área = x·y = 2500

Ponemos y en función de x en la función perímetro.  Y = 2500 / x

Perímetro =P(x) = 2x + 2· 2500/x = 2x + 5000/x = (2x² + 5000)/x

P’(x) =( 4x·x – 2x² – 5000)/x² = (2x² – 5000)/x² ;    P’(x) = 0, à 2x² – 5000 = 0 à x  = ±50

Desechamos la solución negativa porque no tiene sentido aquí una cantidad de valla negativa. No siempre podemos desechar soluciones. Comprobamos que x =50 es mínimo. 

P’(10) = -4800 /100 = -48, ↘

P’(100) = 15000 /10000 = + 1’5, ↗ . Luego, en x = 50 hay un perímetro mínimo.

Solución del problema:   x = 50 metros,  y= 2500/50 = 50 metros.

Resolver mismo problema pero suponiendo que uno de los lados de la valla, no necesita valla pues está rodeado por una pared.

Solución:  x = 35'35 metros,  y = 70'71 metros

EJERCICIOS:

1. Un alambre de 3 metros se corta en dos partes no iguales de forma que con el primer trozo se construye un cuadrado, y con el segundo trozo una circunferencia. Hallar la longitud de cada trozo para que LA SUMA DE LAS ÁREAS sea Máxima. Solución: x= 12/(pi +4) = 1'68,  y = 1'32 metros
2. De todos los conos de generatriz g= 2 metros, hallar las dimensiones del cono que haga un volumen máximo. Solución: h = 1,154 metros,  R = 1,633 metros
3. Un cilindro metálico cerrado por ambos lados tiene un volumen de 16·pi   m³. Hallar las dimensiones del cilindro de forma que la cantidad de chapa empleada en su construcción (superficie de chapa) sea mínima. Solución:  R = 2 metros, h = 4 metros.
4. Hallar la ecuación de una recta, que pasando por A(4, 5), determine con los semiejes positivos de x e y, un triángulo de superficie máxima. Solución :   y - 5 =  5/4· (x - 4)
5. Hallar un número real positivo de forma que la suma de ese número con su inverso sea mínimo.Solución: x = 1
6. De una lámina de cartón de 40 cm. de largo por 60 cm. de ancho se debe cortar de cada ángulo un cuadrado igual de modo que con el cartón resultante doblado convenientemente se pueda construir una caja  (sin tapa). Averiguar la longitud del lado del cuadrado para que la capacidad de la caja sea máxima. Solución: x = 7'84 cm
7. Determinar el radio y la altura de un cono inscrito en una esfera de 9 cm de radio, de forma que el volumen del cono sea máximo. Solución:  h = 12 cm,   R = 8'48 cm
8. En un campo se quiere limitar una parcela de 864 m² por una valla rectangular. Se quiere añadir otra valla paralela a uno de los lados de forma que divida al terreno en 2 partes iguales. ¿Qué dimensiones debe tener el campo rectangular para que la cantidad de valla empleada sea mínima? Solución: x = 24 metros,  y = 36 metros
9. Un automóvil ha de recorrer una distancia fija 800 km, a velocidad constante. El gasto de combustible por hora es el doble del cubo de su velocidad, además, existe un gasto adicional 2 €  por hora. Determinar la velocidad para que el gasto total sea mínimo. Solución : veloc. = 41,82 km/h
10. Hallar las dimensiones del rectángulo de perímetro 12 cm, que al girar alrededor de uno de sus lados, engendra un cilindro de volumen máximo. Solución: R = 4 cm,  h = 2 cm
11. Con un triángulo isósceles de perímetro 10 cm, hallar el cono de revolución de volumen máximo engendrado por el triángulo al girar alrededor de su altura. Soluc.:  R = 2 cm,  h = 2,23 cm
12. Un depósito cerrado con forma de ortoedro de base cuadrada, tiene una capacidad de 125 litros; calcular la longitud de sus aristas para que la superficie metálica empleada en su construcción sea mínima. Soluc: arista base = 5 dm,  altura = 5 cm
13. Una estatua de 4 m. se coloca sobre un pedestal de 10 m. Hallar a qué distancia de la base, se observará la estatua bajo un ángulo máximo. Nota: se debe recurrir a las tangentes. Si ángulo máximo, entonces tangente máxima. Soluc: x = 11,83 metros de la base
14. Hallar el radio y la altura del cilindro circular recto de volumen máximo que puede inscribirse en un cono de radio 4 m. y altura 9 m. Soluc.:  R = 8/3 metros,  altura = 6 metros

LAS TANGENTES Y NORMALES A UNA CURVA

Hola Bachilleratos os pongo una muestra de problemas relativos a hallar las rectas tangentes y normales a una curva o función f(x) en un punto x=a
Proceso para la tangente:
1. Hallar el punto de tangencia de coordenadas (a, f(a))
2. Hallar el valor de la derivada de f(x) en x = a, o sea, f '(a), que es la pendiente m de la recta tangente y = mx + n
3. Sustituir x por a, y por f(a) y m por f '(a) y así hallar n.

Para la recta normal, se procede de forma similar pero ahora la pendiente es m' = -1 / f ' (a). Recordar que es el valor opuesto al valor inverso, o la inversa del opuesto.
Sustituimos x por a, y por f(a) y la pendiente m' en la ecuación de la recta.


También podemos hacerlo por la expresión de la recta dada en su forma punto-pendiente
y - f(a) = m (x -a)

EJERCICIOS Y SUS SOLUCIONES

1. Hallar la ecuación de la recta tangente a la parábola y = x2 − 4x + 3 en el punto x = 4.
Soluc: y = 4x  − 13

2. Hallar la normal a la función anterior en el mismo punto
Soluc: y = -1/4 · x + 4

3. Hallar la recta tangente y normal a la parábola y = x2 − 7x + 12 en x = 2.
Soluc:  y = -3x +8       y =1/3 ·x  + 4/3

4. ¿En qué punto la curva de ecuaciòn y = 3x2 - 5x + 1 tendrá una recta tangente paralela
a la recta de ecuación y = 7x − 3?.
Soluc:: (2, 3).

5. Hallar la recta normal a la curva anterior en x = 0
Soluc:  y = 1/5·x + 1

6. Hallar el valor de a para que la curva y = 2x3 − 3x2 + a     y la recta y = 12x − 1 sean
tangentes. ¿Cuál es el punto de tangencia?.
Solución: Dos soluciones: a = −8, P(−1,−13) ; a = 19, P(2, 23).

7. Hallar la ecuación de la recta normal a la hipérbola y = 1/ x en el punto (1, 1). Repetir para
el punto (−1,−1). Interpretar el resultado.
Solución: y = x, y = x. Es la misma recta.

8. Determinar la ecuación de la recta que pasa por el punto A(1, 2) y por el punto B(3, n),
siendo n el valor de la derivada de la función y = 3x2 − 6x − 1 en el punto de abscisa x = 1.
Solución: y =   - x + 3

9. Hallar la ecuaci´on de la tangente y de la normal a la curva y =1/6 ·x3 + 1/3· x + 1  en el punto
de abscisa x = 2.
Solución: 7x − 3y − 5 = 0, 3x + 7y − 27 = 0.

10. La recta de ecuación y = 6x + a es tangente a la curva y = (bx − 1)/ (bx + 1) en el punto x = 0.
Calcular a y b.
Solución: a = −1, b = 3.

11. Hallar el punto de la curva:   y = ln(1 + x2)  en el que la tangente es perpendicular a la tangente trazada por el punto x = 1.
Solución: (−1, ln 2).

12. Probar que la recta y = −x es tangente a la gráfica de la función:  f(x) = x3 − 6x2 + 8x
Hallar el punto de tangencia y estudiar si esta tangente corta a la gráfica en algún punto
distinto del punto de tangencia.
Soluc: (3,−3). Sí, en el punto (0, 0).


Esto es una muestra de ejercicios que os podrían salir en la paeg referentes a rectas tangentes y normales. Si alguno no os sale, los vemos en clase. Ciao.

UN PROGRAMA QUE TE REPRESENTA FUNCIONES, TE CALCULA LÍMITES, DERIVADAS, ETC... ON LINE

Hola Bachilleratos, os presentamos una página de internet, que escribiendo la expresión analítica de una función os sale la representación de su gráfica, sus límites en el infinito (asíntotas horizontales), su derivada, etc...   Se llama Wolframalpha. Pincha AQUÍ.

Tiene un problema, las instrucciones vienen en inglés, pero es muy intuitivo...

SOLUCIONES FASE SEMIFINAL NIVEL 12-14

Problema 1: El octógono así formado no es regular ya que el lado de corte en diagonal es mayor que el lado resultante 1/3 del corte. Sale para el lado vertical u horizontal 1/3 del lado, 0,3333·lado, pero para el lado de corte en diagonal sale 0,47·lado. Para que sea regular tenéis que usar el teorema de Pitágoras, y una ecuación de segundo grado.
De modo que llamamos x a la diagonal de corte, igual al lado del octógono.El triángulo tras prolongar los lados horizontales y verticales son (1-x)/2. Por teorema de Pitágoras:

cuya solución es para el lado 0,366 veces el lado del cuadrado, y debemos cortar a 0,317 veces el lado del cuadrado desde cada vértice. Un poquito menos que la tercera parte del lado.

Problema 2: Con una chica tenemos la posibilidad de 20 chicos máximo, de los cuales pueden ser amigos desde 0 a 20. Con dos chicas, hay 19 y el número de chicos decrece, ya no es máximo. Por tanto, el máximo es 20 chicos.

Problema 3: Supongamos la peor de las malas suertes, como hay más verdes, es más fácil gastar menos euros en chicles hasta que salga otro verde: 1 € para el primer verde, 9 € para gastar los no verdes, 1 € para el siguiente verde. Total 11 €
Imaginemos el primer chicle sea rojo: 1 € para el rojo, 11 € para gastar los no rojos, y 1 € más para el siguiente rojo. Total 13€
Imaginemos el primer chicle sea azul: 1 € para el azul, 10 € para gastar los no azules, 1 € para el siguiente azul.
Total 12 €
Si echamos cuentas sale más barato que salga verde por primera vez.

SOLUCIONES FASE SEMIFINAL NIVEL 14-16

Naranja o limón? Sólo sabemos que hay en la bolsa un caramelo de naranja de 4 en total, pero no conocemos la totalidad de los cuatro. Entonces tenemos 4 posibles bolsas:  1N 3L, 2N 2L, 3N 1L, 4N, todas ellas posibles por desconocidas. con 1/4 de probabilidad de elegirlas.
p(N) = 1/4 .( 1/4 + 1/2 + 3/4 + 1) = 1/4 · 5/2 = 5/8


El 2º problema es darse cuenta que la altura del triángulo comprende 7 radios (repasar ortocentro de un triángulo para verlo), como es equilátero de radio 1, su altura es raíz de 3 / 2, por tanto un radio es raíz de 3 / 14.

Numb3rs: Se trata de descubrir un número cuyo cuadrado esté entre 1000 y 9999, o sea, entre 32 al cuadrado y 99 al cuadrado, y ver cuál es el que cumple que las dos primeras cifras sean iguales y las dos últimas cifras también iguales. Ese número es 88 al cuadrado. Una pista, para que fuera aabb el número resulta que éste debe ser divisible por 11, luego los candidatos serían 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99 nada más. En fin, 88 al cuadrado es el único, y es igual a 7744. 

OLIMPIADA MATEMÁTICA: SEMIFINALES, PROBLEMAS NIVEL 14-16

PROBLEMA 1: ¿NARANJA O LIMÓN?
María tiene una bolsa con cuatro caramelos cada uno de los cuales puede ser de naranja o de limón. Invita a Alicia a sacar uno.
Antes María le dice a Alicia "como sé que te gustan más, te digo que hay al menos un caramelo de naranja en la bolsa"
¿Cuál es la probabilidad de que Alicia coja un caramelo de naranja?

PROBLEMA 2: TRIÁNGULO CON CIRCUNFERENCIAS
En esta figura las tres circunferencias son iguales y tangentes. Sabiendo que el lado del triángulo equilátero mide una unidad, calcula el radio de las circunferencias.







PROBLEMA 3: NUMB3RS
Cuando paseaban por la ciudad tres matemáticos, observaron que el conductor de un automóvil infringió el reglamento de tráfico. Ninguno de los tres recordaba el número de cuatro cifras de la matrícula, pero como los tres eran matemáticos, cada uno de ellos advirtió alguna particularidad de dicho número. Larry advirtió que las dos primeras cifras eran iguales. Amita se dio cuenta de que también coincidían las dos últimas cifras. Y por último, Charlie aseguraba que todo el número de cuatro cifras era un cuadrado exacto. ¿Puedes determinar el número de la matrícula valiéndote de estos datos?


Las soluciones el próximo día.

OLIMPIADA MATEMÁTICA: SEMIFINALES, PROBLEMAS NIVEL 12-14

PROBLEMA 1.
Por los cuatro costados: Dibuja un cuadrado cualquiera y divide sus lados en tres partes iguales. A continuación unes cada dos puntos consecutivos obteníendose un octógono. ¿Crees que es regular? En caso que no, ¿cómo se habría de efectuar la división de los lados del cuadrado para que así lo sea?

PROBLEMA 2.
Amigos para siempre. En la clase de 1ºESO hay 21 alumnos. Si sabemos que cada chica tiene un número diferente de amigos varones. ¿Cuál es el número máximo de chicos que puede haber en 1ºC?

PROBLEMA 3.
Un problema pegajoso. ¡Mamá quiero un chicle! dijo el primer gemelo. ¡Yo también y lo quiero del mismo color que Pablo! Dijo Jesús el segundo gemelo al ver la máquina de chicles a 1€. La máquina de chicles contiene 6 chicles color verde, 5 azules y 4 rojos, y no hay forma de saber cuál de ellos va a salir.
¿Cuántos euros debe gastarse su madre para asegurarse que los dos gemelos tienen dos chicles del mismo color? ¿Y si los dos quieren verde?. Razona tu respuesta.

LAS FOTOS DE LA OLIMPIADA MATEMÁTICA

Unas fotos para el recuerdo, la participación de nuestros alumnos en la XXIII Olimpiada Matemática. Esperemos que pasen a la siguiente fase final.

En la puerta de la Facultad de Ingeniería, antes de realizar las tareas encomendadas: Mateo, Andrés, Elena, Ana Mª, Anabel, Alba, Noelia, Nuria.

Los alumnos realizando SUPERPROBLEMAS.

Los alumnos despidiéndose con la satisfacción de la realización de las pruebas.

Hasta el año que viene.

4ºESO: PRESENTACIÓN POWER POINT: SEMEJANZA

PINCHA AQUÍ

4º ESO. PRESENTACIÓN: TEOREMA DE THALES

PINCHA AQUÍ

2ºBCT. EJERCICIOS SOBRE TEOREMA DE BOLZANO

Pinchad en el siguiente enlace para encontrar ejercicios de aplicación del teorema de Bolzano.

Ejercicios Tma. de Bolzano

2ºBCT. EJERCICIOS PARA CALCULAR LÍMITES USANDO LA REGLA DE L'HOPITAL

Estimados alumnos, os dejo este enlace con límites aplicando la Regla de L'Hopital, con sus soluciones. Está al final de la página, en el último apartado. Antes vienen los teoremas de Bolzano, Rolle y Cauchy, al que dedicaremos un tiempo más adelante.

CÁLCULO DE LÍMITES

2ºBCT. RESÚMENES DE LOS TRES ÚLTIMOS TEMAS

Mis queridos alumnos, esto se acaba, y para facilitaros la labor de estudiar os he hecho un resumen de los tres últimos temas, sobre funciones. Es la parte más sencilla, por tanto es la parte que primero deberíais hacer en los exámenes PAEG.
Empezaremos a verlos tras el examen del día 7 de marzo. Para descargarlos pincha AQUÍ.

1º ESO: SOLUCIONES DE LA HOJA DE PROBLEMAS DE FRACCIONES

PINCHA AQUÍ

OLIMPIADAS MATEMÁTICAS 2012 - PRUEBAS 1ª FASE

Queridos alumnos, por fin han salido los problemas de la 1ª fase, que tendréis que resolver en casa o en el instituto. Tenéis de plazo hasta el 9 de marzo de 2012 para entregar el máximo resueltos. Podéis clasificaros hasta un máximo de 5 participantes por ciclo. Los problemas resueltos debéis entregárselos a vuestros profesores de matemáticas, o bien, al coordinador de la Olimpiada, Miguel Angel. Ánimo, no son difíciles este año... Pincha en 1º ciclo, si perteneces a 1º o 2º ESO, o pincha 2º ciclo, si perteneces a 3º o 4º ESO

pruebas 1º ciclo

pruebas 2º ciclo

Soluciones del tema 5: Cónicas

Hola chic@s, se que dudabais de que os pusiera las soluciones pero aquí están. Espero que ya hayáis estudiado durante el fin de semana y que ahora solo corrijáis vuestro errores. Yo os recomiendo repasar los ejercicios:
- del 15 al 24
- del 33 al 37
- del 41 al 43
- del 47 al 52
- del 55 al 57


Un saludo, Sonia

https://docs.google.com/open?id=0B1hZ21BGoJpsN2RkYTBmMjEtODFjZi00ZDhhLTlkMzgtYmU1ZjU0MTJkNDhk

4ºESO matA: PLANTEANDO PROBLEMAS

¿Quieres ver si sabes plantear problemas? En el siguiente enlace podrás comprobarlo. Es una página de internet, donde tendrás que escribir la ecuación con la que se resuelve el problema.Son diez problemillas y te permitirá evaluarte con un porcentaje de aciertos. Te servirá para practicar. Tendrás que descargarlo en tu ordenador mediante el botón Descargar...

PLANTEAMIENTO DE PROBLEMAS

2ºeso: estadística con Excel

Mañana jueves 2 de febrero de 2012 el grupo de 2ºC con Miguel Angel irá al Aula 20 de informática a practicar estadísticas con la hoja de cálculo Excel. Traed un pendrive para guardaros vuestro trabajo.

El próximo miércoles 8 de febrero el grupo 2ºB irá al Aula Althia a terminar la práctica de estadística con Excel.

2ºeso: ejercicios de interpretación de funciones

Hola, os dejo un pdf con ejercicios de interpretación de gráficas de funciones. Pinchad AQUÍ.

PRACTICANDO ECUACIONES

Os dejo con unas páginas web que hice el año pasado para mi anterior instituto. Están escritas en francés porque se trataba de un proyecto de elaborar material sobre matemáticas en francés.

Aún así se trata de unir cada oveja (ecuación) con su pareja (solución), pinchando la solución y arrastrándola hasta la ecuación que considereis que tiene esa solución. Están ordenadas de menor a mayor dificultad. También hay otra página web sobre problemas que se resuelven con ecuaciones de primer grado. Intentaré hacer otras páginas sobre ecuaciones de grado 2, factorizadas y con raíces. Pinchad en cada una de las siguientes opciones y se os abrirá una ventana nueva donde os pedirá que lo descarguéis "¨Download" y entonces podréis arrastrar la solución de la derecha a la ecuación correspondiente de la izquierda. Ecuaciones 1 trata de ecuaciones simples, Ecuaciones2 trata de ecuaciones con denominadores, Ecuaciones 3 trata de ecuaciones con paréntesis, y por último los problemas donde tendréis que escribir la solución, el programa os da pistas pero os resta puntuación.

ecuaciones 1

ecuaciones 2

ecuaciones 3

problemas ecuaciones

PRUEBAS DE OLIMPIADA MATEMÁTICA DEL CURSO PASADO

Hola, os dejamos una copia de los problemas que salieron en la Olimpiada matemática del 2011 en Castilla La Mancha en todas las fases clasificatorias en formato pdf. Pincha AQUÍ.

Os recordamos que los lunes en el recreo podréis consultar dudas en el aula 27.

2ºeso: presentación sobre la función recta.

Funciones lineales

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